Stetigkeit der Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 So 27.10.2013 | | Autor: | Fatih17 |
| Aufgabe | Betrachten sie die Funktion f: [mm] \IR^{2} \to \to, [/mm] die folgendermaßen definiert wird:
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{y^{3}-x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \end{cases}
[/mm]
Sind die partiellen Ableitungen [mm] f_{x} [/mm] und [mm] f_{y} [/mm] im Punkt (0,0) stetig? |
Hallo liebe Gemeinde,
bei dieser Aufgabe habe ich zunächst natürlich die partiellen Ableitungen berechnet:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (x,y) = [mm] \bruch{-4xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] (x,y) = [mm] \bruch{y^{4}-x^{4}+4y^{2}x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (0,0) = 0
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] (0,0) = 1
Natürlich habe ich zunächst geguckt, wie man die Stetigkeit beweisen kann und bin auf folgendes gestoßen:
1) Annäherung auf der Gerade y=0
Also den [mm] \limes_{y \rightarrow\ 0}(\limes_{x \rightarrow\ 0} [/mm] f(x,y)) berechnen
2) Annäherung auf der Gerade x=0
Also den [mm] \limes_{x \rightarrow\ 0}(\limes_{y \rightarrow\ 0} [/mm] f(x,y)) berechnen
3) Annäherung auf der Gerade x=y
Also den [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow\ 0} [/mm] f(x,y) berechnen
Sind meine Gedanken hier richtig?
Vielen Danke im voraus
MFG
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> Betrachten sie die Funktion f: [mm]\IR^{2} \to \to,[/mm] die
> folgendermaßen definiert wird:
>
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{y^{3}-x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \end{cases}[/mm]
>
> Sind die partiellen Ableitungen [mm]f_{x}[/mm] und [mm]f_{y}[/mm] im Punkt
> (0,0) stetig?
> Hallo liebe Gemeinde,
>
> bei dieser Aufgabe habe ich zunächst natürlich die
> partiellen Ableitungen berechnet:
>
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (x,y) = [mm]\bruch{-4xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (x,y) [mm]\bruch{y^{4}-x^{4}+4y^{2}x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nähere dich jetzt auf der Geraden y = k*x , k [mm] \in \IR.
[/mm]
Da hierbei nicht die Gerade "x=0 und y beliebig" erfasst wird, kannst du diese Gerade nochmal extra betrachten. Damit erhältst du etwas von deinem abweichende Ergebnisse...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 So 27.10.2013 | | Autor: | Ladon |
Ansonsten versuch es doch bei
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (x,y) =
> [mm]\bruch{y^{4}-x^{4}+4y^{2}x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (0,0) = 1
mit dem Folgenkriterium:
f stetig in (0,0) <=> [mm] lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(lim_{n\to\infty} x_n) \forall [/mm] Folgen [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n\to(0,0) [/mm] bei [mm] n\to\infty.
[/mm]
Betrachte die konstante Folge [mm] a_n=(0,0) [/mm] (dein [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (0,0) = 1) und [mm] a_n=(\frac{1}{n},0).
[/mm]
LG Ladon
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Mo 28.10.2013 | | Autor: | Fatih17 |
Guten Abend nochmal,
vielen Dank für die Zahlreichen Antworten zunächst.
Ich habe es mit dem Folgenkriterium versucht.
Also allgemein gilt glaube ich:
f ist stetig in (0,0) genau dann wenn für jede Folge [mm] (x_{n},y_{n}) [/mm] mit [mm] (x_{n},y_{n})->(0,0) [/mm] auch [mm] f(x_{n},y_{n})-> [/mm] f(0,0).
habe dann folgendes berechnet:
[mm] f_{x}(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] \bruch{-4*\bruch{1}{n}*\bruch{1}{n}^{3}}{(\bruch{1}{n}^{2}+\bruch{1}{n}^{2})^{2}} [/mm] = -1
Jedoch ist [mm] f_{x}(0,0)=0 [/mm] also scheint da etwas nicht zu stimmen.
Wenn wir uns dann noch folgendes angucken :
[mm] f_{y}(\bruch{1}{n},0) [/mm] = -1
ist hier wieder ein Widerspruch zu [mm] f_{y}(0,0) [/mm] zu finden.
Habe ich damit die Unstetigkeit bewiesen? Und wenn ja warum?Beim Folgenkriterium berechne ich ja eigentlich keine Grenzwerte oder?Ich setze ja nur ein, sonst hätte ich gesagt, dass das die Unstetigkeit beweist weil man verschiedene Grenzwerte im Nullpunkt anscheinend hat. Desweiteren würde ich wissen, ob ich auch die Fälle [mm] f_{x}(\bruch{1}{n},0) [/mm] und [mm] f_{x}(0,\bruch{1}{n}) [/mm] betrachten muss.
Vielen Dank nochmals.
MFG
Fatih
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Di 29.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe es mit dem Folgenkriterium versucht.
>
> Also allgemein gilt glaube ich:
>
> f ist stetig in (0,0) genau dann wenn für jede Folge
> [mm](x_{n},y_{n})[/mm] mit [mm](x_{n},y_{n})->(0,0)[/mm] auch
> [mm]f(x_{n},y_{n})->[/mm] f(0,0).
Genau.
Ich habe immer noch nicht die Ableitungen überprüft und gehe jetzt einfach mal davon aus, dass sie stimmen.
> habe dann folgendes berechnet:
>
> [mm]f_{x}(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})[/mm] =
> [mm]\bruch{-4*\bruch{1}{n}*\bruch{1}{n}^{3}}{(\bruch{1}{n}^{2}+\bruch{1}{n}^{2})^{2}}[/mm]
> = -1
Also handelt es sich bei [mm](f_x(\bruch1n,\bruch1n))_{n\in\IN}[/mm] um die konstante Folge [mm](-1)_{n\in\IN}[/mm], die gegen [mm]-1[/mm] konvergiert und somit nicht gegen $0$.
> Jedoch ist [mm]f_{x}(0,0)=0[/mm] also scheint da etwas nicht zu
> stimmen.
Also ist [mm]f_x[/mm] nicht stetig in [mm](0,0)[/mm].
> Wenn wir uns dann noch folgendes angucken :
>
> [mm]f_{y}(\bruch{1}{n},0)[/mm] = -1
>
> ist hier wieder ein Widerspruch zu [mm]f_{y}(0,0)[/mm] zu finden.
Ein Widerspruch zur Stetigkeit von [mm]f_y[/mm] in [mm](0,0)[/mm], ja.
> Habe ich damit die Unstetigkeit bewiesen?
Ja.
> Und wenn ja
> warum?
Genau nach obigem Folgenkriterium: Du hast eine Folge [mm](x_n,y_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm](x_n,y_n)\to(0,0)[/mm], aber [mm]f_x(x_n,y_n)[/mm] nicht konvergent gegen [mm]f_x(0,0)[/mm] gefunden.
(Analog auch für [mm]f_y[/mm] anstelle von [mm]f_x[/mm].)
> Beim Folgenkriterium berechne ich ja eigentlich keine
> Grenzwerte oder?
Grenzwerte von Folgen schon, aber keine Grenzwerte von Funktionen.
> Ich setze ja nur ein,
Beachte, das konstante Folgen [mm](a)_{n\in\IN}[/mm] gegen den Wert [mm]a[/mm] konvergieren (und somit nicht gegen irgendeinen Wert [mm]b\not=a[/mm]).
> sonst hätte ich
> gesagt, dass das die Unstetigkeit beweist weil man
> verschiedene Grenzwerte im Nullpunkt anscheinend hat.
So kannst du auch argumentieren: Im Falle von Stetigkeit gilt [mm]\lim_{n\to\infty}f(x_n,y_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n',y_n')[/mm] für alle Folgen [mm](x_n,y_n)_{n\in\IN}[/mm] und [mm](x_n',y_n')_{n\in\IN}[/mm] mit [mm](x_n,y_n)\to(0,0)[/mm] und [mm]x_n',y_n'\to(0,0)[/mm].
> Desweiteren würde ich wissen, ob ich auch die Fälle
> [mm]f_{x}(\bruch{1}{n},0)[/mm] und [mm]f_{x}(0,\bruch{1}{n})[/mm] betrachten
> muss.
Nein, du hast die Unstetigkeit von [mm]f_x[/mm] in [mm](0,0)[/mm] ja schon bewiesen.
Anders sähe es aus, wenn du die Stetigkeit einer Funktion an der Stelle [mm](0,0)[/mm] nachweisen wolltest. Dann musst du natürlich ALLE Folgen [mm](x_n,y_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm](x_n,y_n)\to(0,0)[/mm] betrachten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fatih17!
Ich habe die Aufgabe nicht gelöst. Daher nur Grundsätzliches:
> Betrachten sie die Funktion f: [mm]\IR^{2} \to \to,[/mm] die
> folgendermaßen definiert wird:
>
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{y^{3}-x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \end{cases}[/mm]
>
> Sind die partiellen Ableitungen [mm]f_{x}[/mm] und [mm]f_{y}[/mm] im Punkt
> (0,0) stetig?
> bei dieser Aufgabe habe ich zunächst natürlich die
> partiellen Ableitungen berechnet:
>
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (x,y) =
> [mm]\bruch{-4xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (x,y) =
> [mm]\bruch{y^{4}-x^{4}+4y^{2}x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (0,0) = 0
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (0,0) = 1
(Das habe ich jetzt nicht überprüft.)
> Natürlich habe ich zunächst geguckt, wie man die
> Stetigkeit beweisen kann und bin auf folgendes gestoßen:
>
> 1) Annäherung auf der Gerade y=0
>
> Also den [mm]\limes_{y \rightarrow\ 0}(\limes_{x \rightarrow\ 0}[/mm]
> f(x,y)) berechnen
Annäherung auf der Geraden [mm]y=0[/mm] entspricht der Untersuchung von
[mm]\lim_{x\rightarrow0}f(x,0)[/mm].
>
> 2) Annäherung auf der Gerade x=0
>
> Also den [mm]\limes_{x \rightarrow\ 0}(\limes_{y \rightarrow\ 0}[/mm]
> f(x,y)) berechnen
>
> 3) Annäherung auf der Gerade x=y
>
> Also den [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow\ 0}[/mm] f(x,y) berechnen
Du meinst
[mm]\lim_{x\rightarrow0}f(x,x)[/mm]
> Sind meine Gedanken hier richtig?
Es geht um die Stetigkeit der Ableitungen, nicht um die Stetigkeit von [mm]f[/mm].
(Wenn aber bereits [mm]f[/mm] nicht stetig ist, können auch nicht alle partiellen Ableitungen stetig sein.)
Durch Annäherung auf Geraden kannst du nur Stetigkeit widerlegen, jedoch nicht Stetigkeit beweisen.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 So 27.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Betrachten sie die Funktion f: [mm]\IR^{2} \to \to,[/mm] die
> folgendermaßen definiert wird:
>
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{y^{3}-x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \end{cases}[/mm]
>
> Sind die partiellen Ableitungen [mm]f_{x}[/mm] und [mm]f_{y}[/mm] im Punkt
> (0,0) stetig?
> Hallo liebe Gemeinde,
>
> bei dieser Aufgabe habe ich zunächst natürlich die
> partiellen Ableitungen berechnet:
>
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (x,y) =
> [mm]\bruch{-4xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (x,y) =
> [mm]\bruch{y^{4}-x^{4}+4y^{2}x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (0,0) = 0
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (0,0) = 1
>
> Natürlich habe ich zunächst geguckt, wie man die
> Stetigkeit beweisen kann und bin auf folgendes gestoßen:
>
> 1) Annäherung auf der Gerade y=0
>
> Also den [mm]\limes_{y \rightarrow\ 0}(\limes_{x \rightarrow\ 0}[/mm]
> f(x,y)) berechnen
>
> 2) Annäherung auf der Gerade x=0
>
> Also den [mm]\limes_{x \rightarrow\ 0}(\limes_{y \rightarrow\ 0}[/mm]
> f(x,y)) berechnen
>
> 3) Annäherung auf der Gerade x=y
>
> Also den [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow\ 0}[/mm] f(x,y) berechnen
>
> Sind meine Gedanken hier richtig?
nur kurz: Wie Tobi schon sagte, kannst Du hier alleine durch Betrachtungen
(geeigneter) geraden Stetigkeit widerlegen.
Ein allgemeineres Verfahren, wo man Stetigkeit charakterisieren kann,
würde man formulieren mit sowas wie:
"Egal, auf welchem Weg (je nach Definition des Autors würde man vielleicht
auch das Wort "Kurve" wählen (müssen)) man zum Punkt [mm] $(0,0)\,$ [/mm] läuft, die
zugehörigen Funktionswerte müssen, wenn man sich diesem Punkt nähert,
auch dem enstprechenden Funktionswert an der Stelle $(0,0)$ nähern!"
Genau dann ist die Funktion stetig in [mm] $(0,0)\,.$
[/mm]
Ich habe sowas
hier (klick!)
schonmal geschrieben gehabt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Mo 28.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit:
Angenommen, $ [mm] f_{x} [/mm] $ und $ [mm] f_{y} [/mm] $ wären Punkt (0,0) stetig. Dann sind diese Ableitungen auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] stetig.
Nach einem Satz (den Ihr hoffentlich hattet), wäre f dann in (0,0) (total) differenzierbar. Dann wäre
(*) [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-gradf(0,0)*\vektor{x \\ y}}{\wurzel{x^2+y^2}}=0.
[/mm]
Wähle y=x>0, dann solltest Du sehen, dass (*) nicht zutrifft.
FRED
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