Stetigkeit der Summe < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Di 07.04.2009 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Seien [mm] f,g:D\to{K} [/mm] Funktionen die in [mm] a\in{D} [/mm] stetig sind. Dann sind auch die Funktionen
[mm] f+g:D\to{K},
[/mm]
[mm] \lambda*f:D\to{K} [/mm] und
[mm] f*g:D\to{K} [/mm] in a stetig. |
Hallo,
soweit so gut. Aber wie ziege ich das formal?
In meinem Skript ist nur auf die Rechenregeln für Grenzwerte verwiesen. Sprich: z.B.: [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] seien zwei konvergente Folgen mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n=b, [/mm] dann konvergiert die Summenfolge und es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=a+b.
[/mm]
Wie ich das zeige ist mir klar.
Wenn [mm] a_n [/mm] bzw. [mm] b_n [/mm] konvergent, dann existiert zu vorgegeben [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] N_1,N_2\in\IN, [/mm] sodass
[mm] |a_n-a|<\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] für alle [mm] n\ge{N_1} [/mm] und
[mm] |b_n-b|<\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] für alle [mm] n\ge{N_2}.
[/mm]
Sei also [mm] n\ge{N}:=max\{N_1,N_2\}, [/mm] dann gilt
[mm] |(a+b)-(a_n+b_n)|=|(a-a_n)+(b-b_n)|\le{|a_n-a|+|b_n-b|}<\bruch{\varepsilon}{2}+\bruch{\varepsilon}{2}=\varepsilon
[/mm]
Damit ist die Konvergenz der Summenfolge gezeigt, aber in welcher Form hilft mit das bei meinem eigentlichen Problem weiter?
MfG barsch
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Hallo barsch,
nun, die so gewählte Beweisvariante macht's einfacher.
Es geht halt hier über die Folgenstetigkeit ...
Damit lassen sich die Aussagen für die Rechenregeln stetiger Funktionen praktischerweise auf die Rechenregeln von (konvergenten) Folgen übertragen.
Das hilft dir insofern, als dass du zB. für die Summe so argumentieren kannst:
Nimm dir eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] her mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$
[/mm]
Dann gilt wegen der Stetigkeit von $f,g$: [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(a)$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}g(x_n)=g(a)$
[/mm]
Was ist dann mit der Summe $f+g$?
[mm] $(f+g)(x_n)=f(x_n)+g(x_n)\rightarrow [/mm] f(a)+g(a)=(f+g)(a)$ für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Also $f+g$ stetig in $a$
Wenn du willst, kannst du die Rechenregeln für die Stetigkeit natürlich auch über die Definitioon der Stetigkeit angehen, aber spätestens beim Produkt stetiger Funktionen ist die Konstruktion des [mm] $\delta$ [/mm] kein Spaß ...
Du kannst es ja mal probieren ...
LG
schachuzipus
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