Stetigkeit der Umkehrabbildung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Di 24.06.2008 | | Autor: | janm |
Hier liegt keine spezielle Aufgabe zu Grunde.
Gegeben ist eine stetige, injektive Abbildung [mm]f: U \to \IR^m[/mm] mit [mm]U\subset \IR^n[/mm] offen.
Schränkt man den Wertebereich von f auf sein Bild ein ist f bijektiv und besitzt eine Umkehrabbildung.
Ist diese unter gegebenen Voraussetzungen stetig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Di 24.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
also für n=m=1 stimmt das.
Oder geht es Dir speziell um den mehrdimensionalen Fall?
LG djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Di 24.06.2008 | | Autor: | janm |
Danke, das mit m=n=1 war mir klar, es ging mir speziell um den mehrdimensionalen Fall sorry wenn das aus meiner Frage nicht so hervorging.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Di 24.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Es gilt Folgendes:
Sind X und Y metrische Räume, D eine kompakte Teilmenge von X und ist
f: D --> Y stetig und injektiv, so ist [mm] f^{-1} [/mm] : f(D) --> D stetig.
Diesen Satz findet man in den meisten Analysis-Büchern, z. B. in: W.Walter, Analysis II (Sringerverlag).
Ist Dir klar, wie Du diesen Satz auf Deine Situation anwenden kannst ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Di 24.06.2008 | | Autor: | janm |
Das gilt dann auf jeder kompakten Teilmenge D meiner offenen Menge und da f stetig ist, ist ja f(D) ebenfalls kompakt.
Kann ich daraus dann auf die ganze offene Menge schließen? Es müsste ja dabei rauskommen, dass das Bild von f auch wieder offen ist oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Mi 25.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Nimm einen Punkt x aus D. Dist offen, also ex. eine kompakte Kreisscheibe K mit Mittelpunkt x, die ganz in D liegt. Nach obigem Satz ist f stetig auf K, also auch im Punkt x. X in D war beliebig, also ist f stetig auf D.
?? Wie kommst Du darauf:
"Es müsste ja dabei rauskommen, dass das Bild von f auch wieder offen ist oder? "
Das ist i.a. falsch.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Mi 25.06.2008 | | Autor: | janm |
Aber wenn f auf einer offenen Menge D umkehrbar ist, im f = V, und g die auf V stetige inverse von f ist dann ist ja V das Urbild von D, D ist offen und g stetig also ist auch V offen ...
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