Stetigkeit, differenzierbarkei < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
folgende Aufgabenstellung:
f= [mm] x-x^2 [/mm] für x>0
0 für x=0
[mm] x+x^2 [/mm] für x<0
Ist die Funktion bei x0=0 stetig? leiten sie f für alle stellen x ab, an denen sie differenzierbar ist.
ich habe nachgewiesen dass die funktion rechts und linksseitig stetig ist und den Grenzwert bei 0 hat.
aber mit dem zweiten teil der aufgabe kann ich nicht wirklich was anfangen:
ich habe gerechnet:
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] f(h)-f(0) /h = [mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] 1-h=1
somit rechtsseitig diff.bar in 0.
für die linke seite habe ich jedoch -1 raus..
da die werte nicht übereinstimmen ist die erste teilfolge in 0 nicht diff.bar..
so weit richtig?
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Hallo
> folgende Aufgabenstellung:
> [mm] f(x)=\begin{cases} x-x^2, & x>0 \\ 0, & x=0\\x+x^2, & x<0\end{cases}
[/mm]
Ich habe die Funktion mal so hingeschrieben, dass sie gut lesbar ist 
>
> Ist die Funktion bei x0=0 stetig? leiten sie f für alle
> stellen x ab, an denen sie differenzierbar ist.
>
> ich habe nachgewiesen dass die funktion rechts und
> linksseitig stetig ist und den Grenzwert bei 0 hat.
>
> aber mit dem zweiten teil der aufgabe kann ich nicht
> wirklich was anfangen:
>
> ich habe gerechnet:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0}[/mm] f(h)-f(0) /h =
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0}[/mm] 1-h=1
>
> somit rechtsseitig diff.bar in 0.
>
> für die linke seite habe ich jedoch -1 raus..
>
> da die werte nicht übereinstimmen ist die erste teilfolge
> in 0 nicht diff.bar..
>
> so weit richtig?
>
Ja. f ist nicht diffbar in 0, da sie zwar rechts- und linksseitig diffbar ist, aber die Grenzwerte nicht übereinstimmen.
Jetzt musst du noch zeigen, dass f in allen anderen Stellen diffbar ist. Das ist aber klar, wenn du weißt, das Polynome beliebig oft diffbar sind. Dann brauchst du nur noch die Ableitung hinzuschreiben. Dabei musst du nach den Fällen, die auch schon bei der Definition gemacht wurden unterscheiden.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
mal langsam :S .. ich muss jetzt die differenzierbarkeit der ableitungen überprüfen stimmts?
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Hallo Bilmem,
> mal langsam :S .. ich muss jetzt die differenzierbarkeit
> der ableitungen überprüfen stimmts?
Nein, du sollst die Ableitung von [mm]f[/mm] berechnen.
Zum einen für [mm]x>0[/mm] und für [mm]x<0[/mm] mit den bekannten Ableitungsregeln und in [mm]x=0[/mm] über den Differenzenquotienten.
Aber letzteres hast du ja schon gemacht und rausgefunden, dass $f$ in $x=0$ nicht diffbar ist.
Gesucht ist also sowas wie
[mm]f'(x)=\begin{cases} \ldots, & \mbox{fuer } x>0 \\
\ldots, & \mbox{fuer} x<0 \end{cases}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
[mm] f'(x)=\begin{cases} 1-2x, & \mbox{fuer } x>0 \\ 1+2x, & \mbox{fuer} x<0 \end{cases}
[/mm]
so jetzt wäre ich fertig oder?
wenn f in 0 diff.bar wäre müsste ich diese ableitungen dennoch machen?
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Hallo nochmal,
> [mm]f'(x)=\begin{cases} 1-2x, & \mbox{fuer } x>0 \\
1+2x, & \mbox{fuer} x<0 \end{cases}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> so jetzt wäre ich fertig oder?
Ja!
>
> wenn f in 0 diff.bar wäre müsste ich diese ableitungen
> dennoch machen?
Die hättest du doch dann schon mit deiner Untersuchung oben ermittelt.
Du hattest ja [mm] $\lim\limits_{x\to 0^+, 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ [/mm] berechnet.
Im Falle der Existenz und Übereinstimmung der beiden Grenzwerte ist das doch genau $f'(0)$ per Definition
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
[mm] f(x)=\begin{cases} (x+ \frac{sin(2x)}{x}, & \mbox{fuer } x\not= 0 \\ 2, & \mbox{fuer} x=0 \end{cases}
[/mm]
Ist f stetig?
Mein Ansatz:
so bei dieser aufgabe weiß ich doch dass f für [mm] \not= [/mm] 0 stetig ist, stimmts?
jetzt muss ich das also nur noch für x=0 zeigen ? :
für x=0 unstetig.
b) Bestimmen Sie für alle x [mm] \in \IR [/mm] die Ableitung von f insbesondere für x=0.
da müsste ich doch wie eben beide grenzwerte berechnen und gucken ob sie übereinstimmen, oder?
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Hallo nochmal,
> [mm]f(x)=\begin{cases} (x+ \frac{sin(2x)}{x}, & \mbox{fuer } x\not= 0 \\
2, & \mbox{fuer} x=0 \end{cases}[/mm]
>
> Ist f stetig?
> Mein Ansatz:
>
> so bei dieser aufgabe weiß ich doch dass f für [mm]\not=[/mm] 0
> stetig ist, stimmts?
Ja, als Verkettung stetiger Funktionen
>
> jetzt muss ich das also nur noch für x=0 zeigen ? :
>
> für x=0 unstetig.
Na, das passt aber schlecht zu b)
Es gilt doch [mm] $\text{diffbar} [/mm] \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ [mm] \text{stetig}$, [/mm] also mit Kontraposition
[mm] $\text{nicht stetig} [/mm] \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ [mm] \text{nicht diffbar}$ [/mm] ...
Rechne mal vor!
>
> b) Bestimmen Sie für alle x [mm]\in \IR[/mm] die Ableitung von f
> insbesondere für x=0.
>
> da müsste ich doch wie eben beide grenzwerte berechnen und
> gucken ob sie übereinstimmen, oder?
Ja, aber wie gesagt, wenn f in 0 diffbar ist, dann sicher auch stetig
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\limes_{n\rightarrow\0} (x+ \frac{sin(2x)) = 0
:/ ...also ich komm nicht auf 2 :S
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Hallo nochmal,
Nun, für [mm] $\lim\limits_{x\to 0}\left(x+\frac{\sin(2x)}{x}\right)$ [/mm] ist nur der zweite Summand spannend, der erste geht ja gegen 0.
Den zweiten bearbeite mal mit de l'Hôpital oder beachte:
[mm] $\frac{\sin(2x)}{x}=\frac{\sin(2x)-\sin(0)}{x-0}$
[/mm]
Das sollte dich für die Funktion [mm] $g(x)=\sin(2x)$ [/mm] doch stark an etwas erinnern ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
2*sin(x)*cos(x)=sin(2x) .. meinst du das ? :/ *schäm*
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Hallo,
> 2*sin(x)*cos(x)=sin(2x) .. meinst du das ? :/ *schäm*
Nein, ich hatte micht verschrieben mit der Funktion [mm]g(x)[/mm], ich meinte nat. [mm]g(x)=\sin(2x)[/mm], hab's editiert.
Es ist doch [mm]\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(2x)-\sin(2\cdot{}0)}{x-0}[/mm] der Differenzenquotient für [mm]g(x)[/mm] an der Stelle [mm]x_0=0[/mm]
Das ist also im Grenzwert [mm]g'(0)[/mm], also [mm]\left[\sin(2x)\right]'\biggr|_{x=0}=2\cos(2x)\biggr|_{x=0}=2\cos(2\cdot}0)=2\cos(0)=2[/mm]
Mach's mal über de l'Hôpital als Alternative ...
Gruß
schachuzipus
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Die Idee mit dem Additionstheorem ist für Stetigkeit gar nicht schlecht, wenn du weißt, dass [mm] \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1.
[/mm]
Dann [mm] \lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{x}=\lim_{x\to0}2\cos(x)\frac{\sin(x)}{x}=2\cdot1\cdot1=2.
[/mm]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 So 20.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
wenn ich das mit l´hoptial machen würde...
wie könnte ich es denn in die form "0"/ "0" bringen..
kann mir da jmd einen ansatz geben?
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Hallo Bilmem,
> wenn ich das mit l´hoptial machen würde...
> wie könnte ich es denn in die form "0"/ "0" bringen..
>
> kann mir da jmd einen ansatz geben?
Betrachte hier den ganzen Ausdruck:
[mm]x+\bruch{\sin\left(2*x\right)}{x}=\bruch{x^{2}+\sin\left(2*x\right)}{x}[/mm]
Für [mm]x \to 0[/mm] ist der rechtsstehenden Ausdruck unbestimmt,
so daß Du hier L'Hospital anwenden kannst:
[mm]\limes_{x \to 0}{\bruch{x^{2}+\sin\left(2*x\right)}{x}}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 So 20.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
[mm] x+\bruch{\sin\left(2\cdot{}x\right)}{x}=\bruch{x^{2}+\sin\left(2\cdot{}x\right)}{x} [/mm]
was bringt die erweiterung zu [mm] x^2 [/mm] ? das kann ich nicht nachvollziehen..vorher hatte ich doch auch stehen:
x/x + sin(2x)/x hätte ich nicht schon hier l´hopital anwenden können für x->0 ???
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Hallo,
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> [mm]x+\bruch{\sin\left(2\cdot{}x\right)}{x}=\bruch{x^{2}+\sin\left(2\cdot{}x\right)}{x}[/mm]
>
> was bringt die erweiterung zu [mm]x^2[/mm] ? das kann ich nicht
> nachvollziehen..
Das kannst du machen, musst aber nicht - siehe oben:
Ich hatte doch gestern schon gesagt, dass du dir nur überlegen musst, dass der hintere Summand von [mm]x+\frac{\sin(2x)}{x}[/mm], also [mm]\frac{\sin(2x)}{x}[/mm] gegen 2 konvergiert.
Dazu hatte ich dir alles hingeschrieben ....
Wenn du es nicht über den Differenzenquotienten machen möchtest, über de l'Hôpital:
Es strebt [mm]\frac{\sin(2x)}{x}[/mm] bei direktem Grenzübergang [mm]x\to 0[/mm] gegen den unbestimmten Ausdruck [mm]\frac{0}{0}[/mm]
Also kannst du de l'Hôpirtal anwenden.
Leite Zähler und Nenner getrennt ab:
[mm]\frac{[\sin(2x)]'}{[x]'}=\frac{2\cos(2x)}{1}=2\cos(2x)[/mm]
Was passiert hier für [mm]x\to 0[/mm] ?
Was passiert damit insgesamt?
> vorher hatte ich doch auch stehen:
>
> x/x + sin(2x)/x hätte ich nicht schon hier l´hopital
> anwenden können für x->0 ???
Wo kommt x/x her?
Siehe oben und in den anderen Antwirten.
Du musst mal sorgfältiger lesen, dann kann man sich das ständige Wiederholen und Wiederkauen von bereits gegebenen Antworten sparen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 So 20.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
für den ausdruck insgesamt kommt dann schließlich 2 raus..
d.h. die funktion ist stetig...
ich habe mir eben mal die differenzierbarkeit angeguckt.. da kommt jedoch einmal 2 und -2 raus.. d.h. die funktion ist in x=0 nicht diff.bar stimmts?
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Hallo nochmal,
> für den ausdruck insgesamt kommt dann schließlich 2
> raus..
>
> d.h. die funktion ist stetig...
>
> ich habe mir eben mal die differenzierbarkeit angeguckt..
> da kommt jedoch einmal 2 und -2 raus.. d.h. die funktion
> ist in x=0 nicht diff.bar stimmts?
Wenn die Rechnung dazu stimmt, hast du recht! Nicht diffbar ...
Gruß
schachuzipus
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