Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:00 So 14.01.2007 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] f(x)=\br{1}{x-1} [/mm] stetig ist im Intervall [-1,1) |
Hallo.
Wie stelle ich das am besten an? Wenn es im Intervall differenzierbar ist, ist es ja auch stetig. Nur einfach ableiten ist nicht der Beweis für stetigkeit oder?
[mm] f'(x)=\br{1}{(1-x)^2} [/mm]
Damit habe ich noch nicht gezeigt, dass es stetig ist?!
Wie wärs dann damit
[mm] \lim_{x\rightarrow a}\br{1}{1-x}=\br{1}{1-a}
[/mm]
Wenn [mm] x_n [/mm] nun eine beliebige Folge ist mit [mm] \lim_{n\rightarrow \infty}(x_n-a)=0
[/mm]
Dann gilt
[mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\br{1}{1-x_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}(\br{1}{1-a}*\br{1}{1-(x_n-a)})=\br{1}{1-a}$
[/mm]
Jetzt wäre die Funktion stetig. Aber was ist mit der Definitionslücke bei -1? Muss man das dann auch noch einmal für n gegen minus Unendlich machen? Also ich habe ja den Definitionsbereich nicht beachtet.
Ansonsten mal der Versuch mit dem Episilon-Delta Kriterium
[mm] $x-x_0 [/mm] < [mm] \delta$
[/mm]
$|f(x) - [mm] f(x_0)|=|\br{1}{1-x}-\br{1}{1-x_0}|<\varepsilon$
[/mm]
Hm, und nun?
Grüße von Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 So 14.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich glaube Du machst es Dir ein wenig zu kompliziert.
Die Funktion [mm] \br{1}{x-1} [/mm] ist eine Zusammensetzung von stetigen Funktionen, wenn man beachtet, das der Nenner nie 0 werden darf. In dem gegebenen Fall ist aber der kritische Punkt x=1 ja nicht im Definitionsbereich enthalten. Somit ist die Funktion auf [-1,1) stetig.
Im Punkt x=1 ist sie nicht stetig, aus dem gleichen Grund warum [mm] \br{1}{x} [/mm] in x=0 nicht stetig ist.
Du hast natürlich recht, wenn Du sagst, wenn eine Funktion differenzierbar ist, ist sie auch stetig. Aber bei dem Beweis müsstes Du genauso vorgehen wie oben beschreiben, d.h. dadurch hättest Du nichts gewonnen.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 So 14.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Hallo Ulim.
> ich glaube Du machst es Dir ein wenig zu kompliziert.
>
> Die Funktion [mm]\br{1}{x-1}[/mm] ist eine Zusammensetzung von
Hier hatte ich mich verschrieben, es sollte eigentlich [mm] \br{1}{1-x} [/mm] heißen, das ändert aber nichts an der Stetigkeit, meine Rückfrage ist:
> stetigen Funktionen, wenn man beachtet, das der Nenner nie
> 0 werden darf. In dem gegebenen Fall ist aber der kritische
> Punkt x=1 ja nicht im Definitionsbereich enthalten. Somit
> ist die Funktion auf [-1,1) stetig.
Das heißt, es genügt hier, die Nennernullstellen zu suchen? Leider weiß ich aber noch nicht, dass (ganz- oder nur) rationale Funktionen sonst immer stetig sind.
Wie ist das aber mit einer "stetigen Definitionslücke"?. Falls diese noch mit zum Intervall gehören würde.
> Du hast natürlich recht, wenn Du sagst, wenn eine Funktion
> differenzierbar ist, ist sie auch stetig. Aber bei dem
> Beweis müsstes Du genauso vorgehen wie oben beschreiben,
> d.h. dadurch hättest Du nichts gewonnen.
Das habe ich noch nicht ganz verstanden: Wieso bringt es mir nichts, die Funktion mit Hilfe der Ableitung auf Stetigkeit zu überprüfen? Weil ich gucken müsste, ob die Ableitung stetig ist?
Gruß,
Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 So 14.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Hallo Ulim.
>
> > ich glaube Du machst es Dir ein wenig zu kompliziert.
> >
> > Die Funktion [mm]\br{1}{x-1}[/mm] ist eine Zusammensetzung von
>
> Hier hatte ich mich verschrieben, es sollte eigentlich
> [mm]\br{1}{1-x}[/mm] heißen, das ändert aber nichts an der
> Stetigkeit, meine Rückfrage ist:
>
Das ist korrekt, ob 1-x oder x-1 im Nenner steht ist egal.
> > stetigen Funktionen, wenn man beachtet, das der Nenner nie
> > 0 werden darf. In dem gegebenen Fall ist aber der kritische
> > Punkt x=1 ja nicht im Definitionsbereich enthalten. Somit
> > ist die Funktion auf [-1,1) stetig.
>
> Das heißt, es genügt hier, die Nennernullstellen zu suchen?
> Leider weiß ich aber noch nicht, dass (ganz- oder nur)
> rationale Funktionen sonst immer stetig sind.
> Wie ist das aber mit einer "stetigen Definitionslücke"?.
> Falls diese noch mit zum Intervall gehören würde.
>
>
Die Nullstellen im Nenner zu suchen reicht nicht, denn es gibt Funktionen die eine Nullstelle im Nenner haben aber trotzdem dort stetig sind. Z.B [mm] f(x)=\br{x-1}{x^2-1} [/mm] den das kann man zu [mm] f(x)=\br{1}{x+1} [/mm] vereinfachen. Somit ist die Funktion in x=1 stetig, obwohl der Nenner an dieser Stelle 0 wird.
In Deinem Fall gibt es aber solche Stellen nicht.
> > Du hast natürlich recht, wenn Du sagst, wenn eine Funktion
> > differenzierbar ist, ist sie auch stetig. Aber bei dem
> > Beweis müsstes Du genauso vorgehen wie oben beschreiben,
> > d.h. dadurch hättest Du nichts gewonnen.
>
> Das habe ich noch nicht ganz verstanden: Wieso bringt es
> mir nichts, die Funktion mit Hilfe der Ableitung auf
> Stetigkeit zu überprüfen? Weil ich gucken müsste, ob die
> Ableitung stetig ist?
>
Erstens ist das ja kein allgemein gültiger Weg, da es ja Funktionen gibt die stetig aber nicht differenzierbar sind, z.B f(x)=|x|.
Zweitens müsstest Du beweisen, das die angegebene Funktion differenzirbar ist. Die vermutete Ableitung hinschreiben reicht ja nicht, denn das setzt die Differenzierbarkeit ja schon voraus.
> Gruß,
> Johann
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 So 14.01.2007 | | Autor: | Torboe |
wie formt man
$ [mm] f(x)=\br{x-1}{x^2-1} [/mm] $
in
$ [mm] f(x)=\br{1}{x+1} [/mm] $
um?
Normal doch höchste Nennerpotzen ausklammern oder? Aber so klappt das nicht :/. Komm da grad echt nicht drauf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 So 14.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torboe!
Wende im Nenner die 3. binomische Formel an: [mm] $x^2-1 [/mm] \ = \ [mm] x^2-1^2 [/mm] \ = \ (x+1)*(x-1)$
Nun klar(er)?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 So 14.01.2007 | | Autor: | Torboe |
jo klar(er). danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 So 14.01.2007 | | Autor: | Phoney |
> jo klar(er). danke!
Dem kann ich mich nur anschliessen, danke
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