Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Sa 14.06.2008 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Sei D eine nicht leere Teilmenge der Natürlichen Zahlen. Zeigen sie, dass jede Funktion
[mm] f:D\mapsto\IR [/mm]
auf D mit Werten in [mm] \IR [/mm] stetig ist. |
Ich habe hier irgendwo einen Denkfehler, denn nach meiner Meinung nach kann die Funktion gar nicht stetig sein.
Denn ich hab ja nur Funktionswerte z.b. f(1), f(2),f(3)..
Aber was ist z.b. bei 0,5
f(0,5) existiert doch gar nicht, da 0.5 keine natürliche Zahl ist, und somit nicht im Definitionsbereich liegt.
Also kann man bildhaft gesprochen, den Graphen der Funktion nicht in einem Rutsch durchzeinen. Und daher ist f nicht stetig.
Wo ist hier mein Denkfehler, denn laut Frage soll die Funktion ja immer stetig sein??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Sa 14.06.2008 | | Autor: | He_noch |
Dein Denkfehler liegt darin, dass du dir die Stetigkeit nicht umbedingt als "ziehen eines Striches", wie in der Schule gelernt, vorstellen darfst!
Es gibt Kriterien, mit denen man untersuchen kann, ob eine Funktion stetig ist. Ist solch ein Kriterium erfüllt, ist die Funktion stetig (muss aber nicht umbedingt mit einem Strich gezogen werden können...)
Gruß He_noch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Sa 14.06.2008 | | Autor: | tinakru |
Ja ich weiß, dass es Kriterien gibt, um die Stetigkeit von Funktionen zu prüfen. Wir habe zum Beispiel die Beweismethode mit der
Epsilon - Delta Beziehung gemacht.
Aber wie gehe ich da bei dieser Aufgabe genau vor. Ich habe ja fast keine Angaben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Du hast ja zu zeigen:
Ist [mm] $x_0 \in [/mm] D$ beliebig, aber fest, so gilt:
Zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta=\delta(\varepsilon,x_0) [/mm] > 0$ derart, so dass für alle $x [mm] \in [/mm] D$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt:
[mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Nun:
Ist hier also [mm] $x_0 \in [/mm] D$ beliebig, aber fest und ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben, so wählen wir [mm] $\delta=\frac{1}{2}$ [/mm] (insbesondere ist [mm] $\frac{1}{2}>0$) [/mm] (wobei wir dieses [mm] $\delta$ [/mm] sogar unabhängig von [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $x_0$ [/mm] wählen können).
Jetzt überlege Dir:
Welche $x [mm] \in [/mm] D$ erfüllen denn dann [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \frac{1}{2}$? [/mm] (Da gibt es genau eines, nämlich...? Falls es unklar ist: Wie groß ist denn der Abstand zwischen zwei verschiedenen natürlichen Zahlen immer mindestens? Und $D$ ist ja Teilmenge der natürlichen Zahlen nach Vorraussetzung.)
Und für diese(s) $x [mm] \in [/mm] D$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] gilt nun:
[mm] $|f(x)-f(x_0)|=... [/mm] $, und damit insbesondere
[mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Also:
Bitte ergänze die Pünktchen, die ganze Aufgabe ist eigentlich sehr banal...
Gruß,
Marcel
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