Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 So 20.12.2009 | | Autor: | Skylaar |
| Aufgabe 1 | Prüfen Sie, ob die folgende, stückweise definierte Funktion stetig ist.
f(x)= { -2x für x [mm] \le [/mm] 0 ; x² für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3; 6x - 9 für [mm] x\ge [/mm] 3}
Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine Funktion an, die
a) genau eine Unstetigkeitsstelle besitzt,
b) monoton steigend, aber nicht streng monoton steigend ist,
c) auf einem Intervall [0;1] konvex und auf dem Intervall [1;2] konkav ist |
| Aufgabe 2 | Geben ist die Funktion f(x,y) = [mm] e^y-x^2+3x+2
[/mm]
a) Bestimme die Isoquanten für f (x;y) = 1 und stellen Sie als Funktion y= G(x) dar. Um welche Art von funktion handelt es sich dabei.
b) Bestimmen Sie die y-Koordinate [mm] y_{0} [/mm] des Punktes P (4; [mm] y_{0}), [/mm] der auf der Isoquante aus Teil a) liegt. Der Wert von x wird nun von 4 auf 4,1 erhöht. Geben sie mit Hilfe der Grenzarte der Substitution eine Naeherung für die Änderung von [mm] y_{0} [/mm] an, die notwendig ist, um die Änderung von x so auszugleichen, das sich der Funktionswert 1 nicht verändert.
c) Untersuchen Sie die Funktion f (x;1) der Schnittkurve, die durch Festlegung von y=1 entsteht auf Extremwerte. Bestimmen Sie , um welche Art von Extremwert es sich ggf. handelt.
d) Begründen Sie, warum die Funktion f weder Extremwerte noch Sattelpunkte haben kann. |
Hilfe,
leider war ich im laufe des Semesters oft krank, so dass ich im Moment das Gefühl habe ich bin blöd! Bei Analysis scheitert es bei mir komplett. Ich weiß noch nicht einmal, wie ich anfangen soll!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 So 20.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Skylaar,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Bitte poste in Zukunft derartig unabhängige / eigenständige Aufgaben in separaten Threads.
Und dann auch bitte nicht die eigenen Lösungsansätze / Ideen vergessen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 So 20.12.2009 | | Autor: | Skylaar |
> Hallo Skylaar,
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> !!
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> Bitte poste in Zukunft derartig unabhängige /
> eigenständige Aufgaben in separaten Threads.
> Und dann auch bitte nicht die eigenen Lösungsansätze / Ideen
> vergessen.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Hallo Loddar,
danke für deinen Tippp und das herzliche Willkommen. Werde mich bessern und meine Lösungsansätze mitteilen, sobald ich damit ganz fertig bin!
Gruß
Skylaar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 So 20.12.2009 | | Autor: | reverend |
> Werde
> mich bessern und meine Lösungsansätze mitteilen, sobald
> ich damit ganz fertig bin!
Nee, besser ist, Du teilst sie mit, bevor Du fertig bist. Dann können wir nämlich darauf eingehen. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 So 20.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Skylaar, herzlich
Was erwartest Du denn jetzt, das wir tun sollen?
Hast Du ein Skript, kennst Du die nötigen Definitionen, hast Du Dein Fehlen nachgearbeitet?
Wenn ja, beraten wir Dich gerne.
Versuch einfach mal ein paar Ansätze, damit man sieht, was Du kannst und was nicht. Nur so ist gezielte Hilfestellung möglich.
Was wir allerdings nicht tun werden, ist, Deine Aufgaben zu lösen. Das hilft Dir nur für den nächsten Abgabetermin, aber Du kannst es dann nicht selbst. Und wir haben die Arbeit damit. Das ist nicht Sinn dieses Forums.
Wenn Du aber Hilfe brauchst, wenn Du selbst etwas lernen bzw. nacharbeiten willst, bist Du herzlich willkommen.
Bisher sind das erstmal nur zwei Aufgaben. Hast Du zu irgendeiner Teilaufgabe eine Idee? Wenn nein, wo würdest Du in Deinem Skript suchen? Was hast Du denn evtl. schon gefunden?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 So 20.12.2009 | | Autor: | Skylaar |
> Hallo Skylaar, herzlich
>
> Was erwartest Du denn jetzt, das wir tun sollen?
> Hast Du ein Skript, kennst Du die nötigen Definitionen,
> hast Du Dein Fehlen nachgearbeitet?
> Wenn ja, beraten wir Dich gerne.
>
> Versuch einfach mal ein paar Ansätze, damit man sieht, was
> Du kannst und was nicht. Nur so ist gezielte Hilfestellung
> möglich.
>
> Was wir allerdings nicht tun werden, ist, Deine Aufgaben zu
> lösen. Das hilft Dir nur für den nächsten Abgabetermin,
> aber Du kannst es dann nicht selbst. Und wir haben die
> Arbeit damit. Das ist nicht Sinn dieses Forums.
>
> Wenn Du aber Hilfe brauchst, wenn Du selbst etwas lernen
> bzw. nacharbeiten willst, bist Du herzlich willkommen.
>
> Bisher sind das erstmal nur zwei Aufgaben. Hast Du zu
> irgendeiner Teilaufgabe eine Idee? Wenn nein, wo würdest
> Du in Deinem Skript suchen? Was hast Du denn evtl. schon
> gefunden?
>
> Grüße
> reverend
Hallo reverend,
danke für das liebe Willkommen!
Ich habe in meinem Skript mal nachgeschaut, aber eher weniger erfolgreich, da genau an diesen Stellen nur Formeln stehen und leider keinerlei Übungsaufgaben und Erklärungen, da ich nicht in den Vorlesungen war. Und mit Ausleihen ist gerade nicht viel, da sich im Moment jeder der nächste ist!
Ideen habe ich schon, weiß allerdings nicht, ob ich damit richtig liege!
Bei Aufgabe a habe ich als genau eine Unstetigkeitstelle -2x herausbekommen.
Bei Aufgabe b komme ich jedoch nicht so recht weiter.
Meine Idee zu c ist für x jeweils 0 oder 1 bzw. für y 1 und 2 in die f(x) = 6x-9 zu setzen.
Zu Aufgabe 2 fehlt mir Hilfe, was ich mit einer eulerschen Zahl machen soll. Ich weiß nicht, wie ich mich da ran tasten soll.
Sorry, das ich mich so schlecht mitteile. Bin verzweifelt, erwarte keine komplette Lösungen nur einen Schupps in die richtige Richtung!
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 So 20.12.2009 | | Autor: | reverend |
ok, ich teile mal Antworten innerhalb des Threads auf.
Mit anderen Worten: gleich mehr.
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Hallo Skylaar,
> Prüfen Sie, ob die folgende, stückweise definierte
> Funktion stetig ist.
>
> f(x)= [mm]\{[/mm] -2x für x [mm]\le[/mm] 0 ; x² für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 3; 6x - 9
> für [mm] x\ge{3}[/mm] [mm]\ \}[/mm]
Es gibt hier drei Funktionsbereiche. Jeder für sich stellt eine (wahrscheinlich als bekannt vorauszusetzende) stetige Funktion dar. Problematisch sind also nur die Grenzen der drei Bereiche: [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=3.
[/mm]
Man "sieht" zwar leicht, dass die vorliegende, stückweise definierte Funktion bei [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] stetig ist, bei [mm] x_2 [/mm] sogar (einmalig) stetig differenzierbar, bei [mm] x_1 [/mm] aber nicht, doch muss man das mit rechts- und linksseitiger Grenzwertbetrachtung an beiden Stellen zeigen. Die Frage nach der Differenzierbarkeit war übrigens gar nicht gestellt.
Übrigens ist die Definition nicht sauber aufgeschrieben. Bei [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ist die Funktion doppelt definiert, da die beiden Werte in beide benachbarten Bereiche fallen. Das könnte ja ein Problem sein, z.B. wenn der mittlere Bereich [mm] (0\le x\le{3}) [/mm] z.B. mit [mm] f(x)=x^2+1 [/mm] definiert wäre. Ist er aber nicht, so dass das Problem nicht entsteht, aber letztlich wird hier die Stetigkeit schon schlampig vorausgesetzt.
Sauber wäre:
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
-2x, & \mbox{für }x\red{<}0 \\
x^2, & \mbox{für }0\le x\red{<}3 \\
6x-9, & \mbox{für }3\le{x}
\end{matrix}\right.
[/mm]
Kannst Du nun z.B. für [mm] x_1=0 [/mm] die Betrachtung des links- und rechtsseitigen Grenzwerts aufstellen?
lg
rev
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Weiter...
| Aufgabe | Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine Funktion an, die
a) genau eine Unstetigkeitsstelle besitzt, [...] |
> Bei Aufgabe a habe ich als genau eine Unstetigkeitstelle -2x herausbekommen.
Wie das? Eine Unstetigkeitsstelle liegt z.B. bei [mm] x_0=a, [/mm] wobei a entweder ein in der Funktionsgleichung vorkommender Parameter oder aber ein bestimmter Wert ist, also z.B. bei [mm] x_0=0.
[/mm]
Gesucht war doch aber eine Funktion, die an einer Stelle unstetig ist.
Dazu könntest Du z.B. stückweise definieren, bis zu einem bestimmten [mm] x_0 [/mm] also die Funktion [mm] f(x)=\text{großes Termgemüse} [/mm] und ab [mm] x_0 [/mm] dann [mm] f(x)=\text{großes Termgemüse}+1, [/mm] und schon hast Du eine Unstetigkeit erzeugt. Allerdings müsste der vegetarische Eintopf vollkommen stetig sein, sonst würdest Du Dir ja noch mehr Unstetigkeiten einhandeln.
Einfacher ist vielleicht der Klassiker [mm] f(x)=\bruch{1}{x^n} [/mm] mit [mm] n\not={0}. [/mm] Alle diese Funktionen sind unstetig in [mm] x_0=0 [/mm] und ansonsten stetig.
Sowas war gesucht. Kennst Du noch andere Funktionen, die nur an einer Stelle unstetig sind? Oder kannst Du eine konstruieren?
lg
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:43 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Skylaar |
> Weiter...
>
> Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine Funktion an, die
>
> a) genau eine Unstetigkeitsstelle besitzt, [...]
>
> > Bei Aufgabe a habe ich als genau eine Unstetigkeitstelle
> -2x herausbekommen.
>
> Wie das? Eine Unstetigkeitsstelle liegt z.B. bei [mm]x_0=a,[/mm]
> wobei a entweder ein in der Funktionsgleichung vorkommender
> Parameter oder aber ein bestimmter Wert ist, also z.B. bei
> [mm]x_0=0.[/mm]
>
> Gesucht war doch aber eine Funktion, die an einer Stelle
> unstetig ist.
>
> Dazu könntest Du z.B. stückweise definieren, bis zu einem
> bestimmten [mm]x_0[/mm] also die Funktion [mm]f(x)=\text{großes Termgemüse}[/mm]
> und ab [mm]x_0[/mm] dann [mm]f(x)=\text{großes Termgemüse}+1,[/mm] und
> schon hast Du eine Unstetigkeit erzeugt. Allerdings müsste
> der vegetarische Eintopf vollkommen stetig sein, sonst
> würdest Du Dir ja noch mehr Unstetigkeiten einhandeln.
>
> Einfacher ist vielleicht der Klassiker [mm]f(x)=\bruch{1}{x^n}[/mm]
> mit [mm]n\not={0}.[/mm] Alle diese Funktionen sind unstetig in [mm]x_0=0[/mm]
> und ansonsten stetig.
>
> Sowas war gesucht. Kennst Du noch andere Funktionen, die
> nur an einer Stelle unstetig sind? Oder kannst Du eine
> konstruieren?
>
> lg
> rev
Hallo rev,
zu meiner Verteidigung. Die Funktion ist richtig geschrieben, x² für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3 !
Habe mich intensiver mit den Aufgaben beschäftigt und war mal wieder vorhin zu voreilig, sorry! Die stückweise definierte Funktion ist stetig. Ich habe im ersten Abschnitt für x = 0 , im zweiten Teilbereich für x² =3 und im letzten Abschnitt für x=3 gesetzt und mit Hilfe einer Zeichnung festgestellt, dass diese stetig ist.
Für die eine Unstetigkeitsstelle habe ich folgende Funktion gewählt:
f(x)={ x für x [mm] \le [/mm] 0 ; x+1 für x [mm] \ge [/mm] 0}
Bei dem Intervall [0;1] konvex habe ich einfach eine quadratische Funktion genommen f(x) =x² für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
Zum Intervall [1;2] --> f(x) = -2x² für 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2
Nur bei der Monotonie komme ich nicht weiter!
Bin ich den auf der richtigen Spur? Danke schon jetzt einmal für deine Hilfe!
Liebe Grüße
Sky
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Hallo Sky,
> zu meiner Verteidigung. Die Funktion ist richtig
> geschrieben, [mm] x^2 [/mm] für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 3 !
Das mag richtig geschrieben sein, falsch definiert ist es trotzdem.
> Habe mich intensiver mit den Aufgaben beschäftigt und war
> mal wieder vorhin zu voreilig, sorry! Die stückweise
> definierte Funktion ist stetig. Ich habe im ersten
> Abschnitt für x = 0 , im zweiten Teilbereich für [mm] x^2=3 [/mm]
> und im letzten Abschnitt für x=3 gesetzt und mit Hilfe
> einer Zeichnung festgestellt, dass diese stetig ist.
Ob das für die Aufgabe reicht, entscheidet Dein Entscheider, egal ob Lehrer, Hiwi oder Assi. Mir würde es nicht reichen, wenn Ihr gerade Stetigkeitsuntersuchungen zum Thema habt. Ansonsten ist es natürlich völlig ok. Man kann ja auch einfach mal die beiden kritischen Wert in die beiden jeweils benachbarten Funktionen einsetzen, da spart man sich die Zeichung und bekommt trotzdem das gleiche heraus. Für den genauen Nachweis reicht das aber eben nicht, obwohl das Ergebnis genau gleich bleibt.
> Für die eine Unstetigkeitsstelle habe ich folgende
> Funktion gewählt:
>
> f(x)= { x für x [mm]\le[/mm] 0 ; x+1 für x [mm]\ge[/mm] 0 }
Ja, sowas. Aber hier ist nicht klar, was der Funktionswert an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] ist. Da sind nämlich gleich zwei Funktionswerte definiert.
> Bei dem Intervall [0;1] konvex habe ich einfach eine
> quadratische Funktion genommen f(x) =x² für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le{1}[/mm]
> Zum Intervall [1;2] --> f(x) = -2x² für 1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nur bei der Monotonie komme ich nicht weiter!
Na, z.B.
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
x, & \mbox{für }x<0 \\
0, & \mbox{für }0\le x<1 \\
x-1, & \mbox{für }1\le x
\end{matrix}\right.
[/mm]
> Bin ich den auf der richtigen Spur? Danke schon jetzt
> einmal für deine Hilfe!
Ja, sieht doch ganz gut aus.
Grüße
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:08 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Skylaar |
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> > Habe mich intensiver mit den Aufgaben beschäftigt und war
> > mal wieder vorhin zu voreilig, sorry! Die stückweise
> > definierte Funktion ist stetig. Ich habe im ersten
> > Abschnitt für x = 0 , im zweiten Teilbereich für [mm] x^2=3 [/mm]
> > und im letzten Abschnitt für x=3 gesetzt und mit Hilfe
> > einer Zeichnung festgestellt, dass diese stetig ist.
>
> Ob das für die Aufgabe reicht, entscheidet Dein
> Entscheider, egal ob Lehrer, Hiwi oder Assi. Mir würde es
> nicht reichen, wenn Ihr gerade Stetigkeitsuntersuchungen
> zum Thema habt. Ansonsten ist es natürlich völlig ok. Man
> kann ja auch einfach mal die beiden kritischen Wert in die
> beiden jeweils benachbarten Funktionen einsetzen, da spart
> man sich die Zeichung und bekommt trotzdem das gleiche
> heraus. Für den genauen Nachweis reicht das aber eben
> nicht, obwohl das Ergebnis genau gleich bleibt.
Werde mich mal morgen bei einem mitstreiter erkundigen, wie genau ich sein sollte! Lieb, dass du mich darauf hingewiesen hast!
>
>
> Ja, sowas. Aber hier ist nicht klar, was der Funktionswert
> an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] ist. Da sind nämlich gleich zwei
> Funktionswerte definiert.
mmh,da magst du recht haben, also entscheide ich mich für den Klassiker f(x) = 1 - [mm] \bruch{1}{x} [/mm] oder was meinst du?
Danke !!!!!!!
Mache mich jetzt an Aufgabe 2 ;o) Das kann ja was werden!
Gute Nacht!
Sky
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:17 Mo 21.12.2009 | | Autor: | reverend |
Ein letztes hallo vor dem Schlafengehen (meinem nämlich),
> Werde mich mal morgen bei einem mitstreiter erkundigen, wie
> genau ich sein sollte! Lieb, dass du mich darauf
> hingewiesen hast!
Keine Ahnung, was Ihr gerade macht. Aber der Aufgabentyp kommt sonst am ehesten in der Phase, wo man mit links- und rechsseitigen Grenzwerten arbeitet. Ganz kleinlich also.
> > Ja, sowas. Aber hier ist nicht klar, was der Funktionswert
> > an der Stelle [mm]x_0=0[/mm] ist. Da sind nämlich gleich zwei
> > Funktionswerte definiert.
>
> mmh,da magst du recht haben, also entscheide ich mich für
> den Klassiker f(x) = 1 - [mm]\bruch{1}{x}[/mm] oder was meinst du?
I wo. Bleib ruhig bei Deiner Funktion, aber nimm einen der Gleichheitsstriche unter einer der beiden Relationen weg. Dann ist doch alles ok.
> Danke !!!!!!!
>
> Mache mich jetzt an Aufgabe 2 ;o) Das kann ja was
> werden!
Ja, die sieht etwas mühsamer aus. Einfacher würde sie, wenn Du [mm] z=e^y [/mm] substituierst - oder einfachlogarithmisches Papier verwendest. Beides ist sicher nicht verboten. Soviel noch als Tipp.
Muss mal mein Bett zum Schweigen bringen, das brüllt hier schon durchs ganze Haus...
Ciao,
rev
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Und noch weiter...
| Aufgabe | Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine Funktion an, die
[...]
b) monoton steigend, aber nicht streng monoton steigend ist, [...]
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Das geht wahrscheinlich nur stückweise. Irgendwo muss es einen (ggf. unendlich kleinen) Bereich geben, in dem die Funktion konstant ist. Wäre sie in diesem Bereich fallend, so könnte sie ja nicht insgesamt monoton steigend sein, und damit sie nicht streng monoton steigend ist, muss irgendwo für a>b gelten f(a)=f(b).
Ansonsten darf ruhig überall gelten a>b [mm] \Rightarrow [/mm] f(a)>f(b), nur eben an mindestens einer Stelle nicht.
Nebenbei: kennst Du die Gaußklammer?
lg
rev
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Skylaar |
> Und noch weiter...
>
> Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine Funktion an, die
>
> [...]
> b) monoton steigend, aber nicht streng monoton steigend
> ist, [...]
>
>
> Das geht wahrscheinlich nur stückweise. Irgendwo muss es
> einen (ggf. unendlich kleinen) Bereich geben, in dem die
> Funktion konstant ist. Wäre sie in diesem Bereich fallend,
> so könnte sie ja nicht insgesamt monoton steigend sein,
> und damit sie nicht streng monoton steigend ist, muss
> irgendwo für a>b gelten f(a)=f(b).
> Ansonsten darf ruhig überall gelten a>b [mm]\Rightarrow[/mm]
> f(a)>f(b), nur eben an mindestens einer Stelle nicht.
>
> Nebenbei: kennst Du die Gaußklammer?
>
> lg
> rev
Aha, sollte erst einmal alles lesen! Gaußsche Klammer, da klingelt was bei mir.... das war doch mit den [] Klammern nicht wahr? Galt das nicht nur für ganze Zahlen? Apropos Steigungen...darf ich noch mal nach dem Unterschied fragen zwischen monoton und streng monoton steigend bzw. fallend? Das ist mir noch nie ganz klar gewesen!
Danke,
lg Sky
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Skylaar!
Bei (normaler) Monotonie gilt (hier für monoton steigend):
[mm] $$x_1 [/mm] \ > \ [mm] x_2 [/mm] \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ [mm] f(x_1) [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] f(x_2)$$
[/mm]
Bei strenger Monotonie wird aus dem [mm] $\ge$ [/mm] ein strengeres Kriterium; nämlich $>_$ :
[mm] $$x_1 [/mm] \ > \ [mm] x_2 [/mm] \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ [mm] f(x_1) [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] f(x_2)$$
[/mm]
Für "monoton fallend" gilt es analog mit [mm] $\le$ [/mm] bzw. $<_$ .
Gruß
Loddar
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Letzter Beitrag für jetzt:
| Aufgabe | Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine Funktion an, die
[...]
c) auf einem Intervall [0;1] konvex und auf dem Intervall [1;2] konkav ist |
Meine Idee zu c ist für x jeweils 0 oder 1 bzw. für y 1 und 2 in die f(x) = 6x-9 zu setzen.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Versteh ich nicht.
Was heißt denn konkav und konvex?
Reicht es nicht, eine Funktion zu finden, die bei [mm] x_0=1 [/mm] einen passenden Wendepunkt hat? Das wäre doch leicht zu konstruieren, z.B. mit einem Polynom dritten Grades.
(zu Aufgabe 2 schreib ich mal noch nichts. Die Baustelle hier ist doch erstmal groß genug.  )
Na dann, auf gehts. Viel Erfolg!
lg
reverend
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