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Stetigkeit einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Sa 11.06.2005
Autor: Inet34

Hallo!

ICh habe eine Frage zu einer Aufgabe auf einem Übungsblatt.

Und zwar habe ich folgende Fkt. gegeben:

[mm] f(x)=\begin{cases} sin(x) / x, & \mbox{falls } x \not=0 \\ 1, & \mbox{falls } x=0 \end{cases} [/mm]

Nun soll ich zeigen, dass die Fkt. stetig ist.

Aber:  [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] sin(x)/x = 0 und f(0) = 1.

Daraus würde ich schließen, dass die Fkt. nicht stetig ist, aber das soll sie ja anscheinend sein?

Wäre nett wenn mir jemand meinen Fehler aufzeigen könnte.

Danke im voraus!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Stetigkeit einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 Sa 11.06.2005
Autor: TranVanLuu

Bist du dir mit

> $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] $ sin(x)/x = 0 und f(0) = 1.

wirklich sicher? Das Problem hier ist ja, dass sowohl sin (x) als auch x für
x  [mm] \to \infty [/mm] gegen Null streben, also quasi 0/0 dastünde....

Weiterhelfen kann uns hier der Satz von L' Hospital:

Für [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] g(x_0) [/mm]  gilt  [mm] \bruch{f(x_0)}{g(x_0)} [/mm] = [mm] \bruch{f'(x_0)}{g'(x_0)}. [/mm]
Damit solltest du weiterkommen

Gruß TranVanLuu
Bezug
                
Bezug
Stetigkeit einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:07 So 12.06.2005
Autor: Inet34

Erstmal danke für die rasche Antwort!

So ich habe jetzt mal mit L'hospital folgendes :

[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] sin(x)'/x' = [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] cos(x)/1 = 1/1 = 1

Also ist [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] sin(x)/x = 1 und da f(0) = 1 ist die Fkt. tatsächlich stetig.



Ich hoffe das ist richtig!

Gruß und danke nochmal!
Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit einer Funktion: Richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 So 12.06.2005
Autor: Loddar

Hallo Inet!

Zunächst einmal [willkommenmr] ...


> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] sin(x)'/x' = [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] cos(x)/1 = 1/1 = 1

> Also ist [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] sin(x)/x = 1 und da f(0) =
> 1 ist die Fkt. tatsächlich stetig.

[daumenhoch] OK!

Rein formell mußt Du ja zeigen, daß der o.g. Grenzwert beidseits gilt, also wenn Du Dich sowohl von rechts als auch von links an die Null annäherst.

Aber bei der obigen Vorgehensweise ist das wirklich rein formeller Natur, denn schließlich gilt ja:

[mm] $\limes_{x\rightarrow 0 \red{-}}\bruch{\sin(x)}{x} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0 \red{+}}\bruch{\sin(x)}{x} [/mm] \ = \ 1$


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:36 So 12.06.2005
Autor: Inet34

Ja, das werde ich nochmal mit hinschreiben, dass der Grenzwert gleich ist wenn x von links bzw. von rechts gegen 0 geht!

Also Danke nochmal.
Bezug
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