Stetigkeit einer Funktion < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] I_x\subset \IR^n, I_y\subset \IR^m [/mm] kompakte Intervalle , I= [mm] I_xxI_y, f:I\to\IR [/mm] sei eine stetige Funktion.
Zeige: die Funktion [mm] g:I_y\to \IR, y\to \integral_{I_x}{f(x,y) dx} [/mm] ist stetig |
kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich von diesem Integral die stetigkeit zeigen kann? ? Mich irritiert hierbei die Intervallbezeichnung, kann mir das jemand erklären?
MfG
mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mathegirl,
> [mm]I_x\subset \IR^n, I_y\subset \IR^m[/mm] kompakte Intervalle , I=
> [mm]I_xxI_y, f:I\to\IR[/mm] sei eine stetige Funktion.
>
> Zeige: die Funktion [mm]g:I_y\to \IR, y\to \integral_{I_x}{f(x,y) dx}[/mm]
> ist stetig
> kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich von diesem
> Integral die stetigkeit zeigen kann? ? Mich irritiert
> hierbei die Intervallbezeichnung, kann mir das jemand
> erklären?
dann musst Du genauer erläutern, welche Bezeichnung Du nicht verstehst. Nimm Dir doch ein einfaches Beispiel, betrachte etwa
$$(x,y) [mm] \in I_x \times I_y (\subseteq \IR^2)$$
[/mm]
mit [mm] $I_x:=[1,2]$ [/mm] und [mm] $I_y:=[1,4]\,.$
[/mm]
Jetzt nimm' mal [mm] $f(x,y):=f((x,y)):=x*y^2\,,$ [/mm] auf [mm] $I_x \times I_y=[1,2] \times [/mm] [1,4]$ definiert. Diese Funktion erfüllt alle Voraussetzungen. Die Funktion
[mm] $$g(y):=\int_{[1,2]}f(x,y)dy=\int_{x=1}^{x=2}x*y^2dx$$
[/mm]
(welche man nach dem HDI zu
[mm] $$g(y)=y^2*\left(\frac{1}{2}(2^2-1^2)\right)=\frac{3}{2}y^2$$
[/mm]
(auf [mm] $I_y=[1,4]$ [/mm] definiert; d.h. wir betrachten oben Funktionsterm für alle $y [mm] \in [/mm] [1,4]$) umschreiben könnte)
wäre dann auf Stetigkeit zu prüfen.
Natürlich ist Deine Funktion [mm] $g(y):=\int_{I_x}f(x,y)dy$ [/mm] nicht so speziell, dass Du immer eine Stammfunktion so konkret wie oben hinschreiben kannst. Aber dennoch solltest Du dran denken, was der HDI hier für eine Rolle spielen kann und warum man die Stetigkeit von $f(x,y)$ "in beiden Variablen" gebrauchen kann. (Da [mm] $x\,$ [/mm] bzw. [mm] $y\,$ [/mm] auch "mehrere Komponenten" haben kann, je nach [mm] $n\,$ [/mm] bzw. [mm] $m\,,$ [/mm] brauchst Du evtl. auch andere Sätze aus der Integrationstheorie; evtl. auch aus der Lebesgueschen Integrationstheorie...)
P.S.:
Natürlich ist oben eigentlich [mm] $x\,$ [/mm] im [mm] $\IR^n$ [/mm] und $y [mm] \in \IR^m$ [/mm] und damit [mm] $I_x \times I_y \subset \Big(\IR^{m} \times \IR^n\Big) \cong \IR^{m+n}\,.$ [/mm] Beachte auch, dass ein [mm] "$n\,$-dimensionales [/mm] kompaktes Intervall" des [mm] $\IR^n$ [/mm] gerade nichts anderes bedeutet, als dass jede Komponente innerhalb eines kompakten Intervalls von [mm] $\IR$ [/mm] liegt. Im [mm] $\IR^1$ [/mm] sind das gerade kompakte Intervalle, im [mm] $\IR^2$ [/mm] sind das "Rechtecke", im [mm] $\IR^3$ [/mm] sind das Quader... (alles natürlich beschränkte und abgeschlossene Teilmengen!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Do 07.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]I_x\subset \IR^n, I_y\subset \IR^m[/mm] kompakte Intervalle , I=
> [mm]I_xxI_y, f:I\to\IR[/mm] sei eine stetige Funktion.
>
> Zeige: die Funktion [mm]g:I_y\to \IR, y\to \integral_{I_x}{f(x,y) dx}[/mm]
> ist stetig
> kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich von diesem
> Integral die stetigkeit zeigen kann? ? Mich irritiert
> hierbei die Intervallbezeichnung, kann mir das jemand
> erklären?
Diese Bezeichnung ist in der Tat schlecht. Nennen wir die Intervalle einfach [mm] I_1 [/mm] und [mm] I_2.
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] Wir wollen zeigen: es gibt ein [mm] \delta>0 [/mm] mit:
$|g(y)-g(y')|< [mm] \varepsilon$ [/mm] für $y, y' [mm] \in I_2$ [/mm] mit $||y-y'||< [mm] \delta$
[/mm]
Damit wäre gezeigt, dass g auf [mm] I_2 [/mm] (gleichmäßig) stetig ist.
Wie kommen wir zu solch einem [mm] \delta [/mm] >0 ?
Tipp: da f auf I stetig ist und I kompakt ist, ist f auf I gleichmäßig stetig.
Jetzt mach Du weiter .
FRED
>
> MfG
> mathegirl
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