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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Sa 17.07.2010 | | Autor: | mileu |
| Aufgabe | [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x*y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \end{cases}
[/mm]
a) Ist die Funktion stetig?
b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen [mm] \bruch{\delta f}{\delta x} [/mm] und [mm] \bruch{\delta f}{\delta y} [/mm] |
Hallo Leute,
hab hier versucht mit der Substitution
[mm] x=r*cos(\phi)
[/mm]
[mm] y=r*sin(\phi)
[/mm]
weiter zu machen, aber da kommt bei mir immer null heraus und das bedeutet, dass die Funktion ja stetig wäre. Laut Lösung ist die Funktion aber nicht stetig.
Dann hab ich noch den Ansatz benutzt
x = 1/n
y = 1/n
und n gegen unendlich laufen lassen, aber da hatte ich das gleiche Problem.
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
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Hallo Miguel,
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x*y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \end{cases}[/mm]
>
> a) Ist die Funktion stetig?
> b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}[/mm]
> und [mm]\bruch{\delta f}{\delta y}[/mm]
> Hallo Leute,
>
> hab hier versucht mit der Substitution
>
> [mm]x=r*cos(\phi)[/mm]
> [mm]y=r*sin(\phi)[/mm]
>
> weiter zu machen, aber da kommt bei mir immer null heraus
> und das bedeutet, dass die Funktion ja stetig wäre. Laut
> Lösung ist die Funktion aber nicht stetig.
>
> Dann hab ich noch den Ansatz benutzt
>
> x = 1/n
> y = 1/n
>
> und n gegen unendlich laufen lassen, aber da hatte ich das
> gleiche Problem.
Na, wenn diese Nullfolge es nicht tut, dann suche eine andere.
Mit der Anordnung der Potenzen von x und y könnte man auf dies kommen:
Versuch's mal mit der Nullfolge [mm] $(x_n,y_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{1}{n^2},\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$
[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:54 So 18.07.2010 | | Autor: | mileu |
Hallo schachuzipus,
mit der Folge komme ich ganz gut hin. Danke für die Hilfestellung.
Dennoch hab ich noch ne kleine Frage.
Wie erkenne ich, wann ich welche folge nehmen muss?
Wäre ich nämlich in der Klausur und hätte die Musterlösung grad nicht gehabt, dann würd´s bissl blöd werden =)
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> Hallo schachuzipus,
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> mit der Folge komme ich ganz gut hin. Danke für die
> Hilfestellung.
> Dennoch hab ich noch ne kleine Frage.
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> Wie erkenne ich, wann ich welche folge nehmen muss?
Hallo,
stetes Training schult bei sowas den Blick.
Man kann Dir hier unmöglich eine Folge sagen, die Für alle Funktionen paßt.
Bei Funktionen der Machart wie in der Aufgabe sind passende Potenzen v. 1/n meist eine gute Wahl.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 So 18.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo schachuzipus,
>
> mit der Folge komme ich ganz gut hin. Danke für die
> Hilfestellung.
> Dennoch hab ich noch ne kleine Frage.
>
> Wie erkenne ich, wann ich welche folge nehmen muss?
>
> Wäre ich nämlich in der Klausur und hätte die
> Musterlösung grad nicht gehabt, dann würd´s bissl blöd
> werden =)
>
Nun, für den Fall, dass die zu untersuchende Funktion f(x,y) den Aufbau
[mm] f(x,y)=c*1_{\{(0,0)\}}(x,y)+\frac{p(x,y)}{q(x,y)}\Big|_{\IR^2\backslash\{(0,0)\}}1_{\IR^2
\backslash\{(0,0)\}}(x,y)
[/mm]
wobei p und q Polynome in x und y sind, kannst Du
[mm] x=\alpha*t [/mm] und [mm] y=\beta*t^\gamma [/mm] mit einem [mm] t\in(0,\infty) [/mm] einsetzen, welches von Du von oben gegen null streben läßt, so dass x und y dabei gegen (0,0) streben (dazu muss natürlich [mm] \gamma>0 [/mm] sein und ebenso [mm] \alpha [/mm] oder [mm] \beta). [/mm] Damit hast Du eine hinreichend reichhaltige Schar [mm] (x(t),y(t))\to(0,0), [/mm] um Stetigkeitsdefekte aufzudecken. Wenn dann nicht immer c herauskommt, ist f nicht stetig bei (0,0).
Beachte: I.A. gilt die Umkehrung nicht. D.h. wenn Du mit dieser Methode keine Unstetigkeit nachweisen kanst, heißt das nicht, dass die Funktion stetig ist. Dazu muss Du dann die allgemeine Definitionen und/oder Sätze bemühen.
Dein Beispiel:
[mm] f(x,y)|_{x=\alpha t, y=\beta t^\gamma}=\frac{\alpha t\beta^2t^{2\gamma}}{\alpha^2t^2+\beta^4t^{4\gamma}}=\frac{\alpha\beta^2t^{2\gamma-1}}{\alpha^2+\beta^4t^{4\gamma-2}}
[/mm]
Nun sieht man, dass wenn [mm] \gamma=1/2 [/mm] gewählt wird, daraus [mm] \frac{\alpha\beta^2}{\alpha^2+\beta^4} [/mm] wird. Wenn also [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] ungleich null gewählt werden, verschwindet also die Funktion nicht auf der gewählten Annäherung an (0,0). Damit kann sie bei (0,0) nicht stetig sein.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 So 18.07.2010 | | Autor: | mileu |
Hallo gfm,
dein Ansatz ist richtig gut. Danke schon mal dafür.
Was ich aber nicht ganz verstehe ist, warum hier
[mm] \frac{\alpha t\beta^2t^{2\gamma}}{\alpha^2t^2+\beta^4t^{4\gamma}}=\frac{\alpha\beta^2t^{2\gamma-1}}{\alpha^2+\beta^4t^{4\gamma-2}}
[/mm]
aus dem ${t * [mm] t^{\gamma}}$ [/mm] dann ${ [mm] t^{\gamma-1}}$ [/mm] wird müsste doch ein Plus sein oder? Es sei denn du erweiterst mit [mm] $t^{-1}$ [/mm] aber dann müsste man doch auch unten erweitern?
Und unten wird aus [mm] $\alpha^{2}t^{2} [/mm] + [mm] \beta^{4}t^{4\gamma}$ [/mm] dann [mm] $\alpha^{2} [/mm] + [mm] \beta^{4}t^{4\gamma-2}$
[/mm]
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Hallo mileu,
> Hallo gfm,
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> dein Ansatz ist richtig gut. Danke schon mal dafür.
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> Was ich aber nicht ganz verstehe ist, warum hier
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> [mm]\frac{\alpha t\beta^2t^{2\gamma}}{\alpha^2t^2+\beta^4t^{4\gamma}}=\frac{\alpha\beta^2t^{2\gamma-1}}{\alpha^2+\beta^4t^{4\gamma-2}}[/mm]
>
> aus dem [mm]{t * t^{\gamma}}[/mm] dann [mm]{ t^{\gamma-1}}[/mm] wird müsste
> doch ein Plus sein oder? Es sei denn du erweiterst mit
> [mm]t^{-1}[/mm] aber dann müsste man doch auch unten erweitern?
Aus Zähler und Nenner wurde ein [mm]t^{2}[/mm] herausgekürzt.
Demnach wurde der Bruch mit [mm]\bruch{t^{-2}}{t^{-2}}[/mm] erweitert.
>
> Und unten wird aus [mm]\alpha^{2}t^{2} + \beta^{4}t^{4\gamma}[/mm]
> dann [mm]\alpha^{2} + \beta^{4}t^{4\gamma-2}[/mm]
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 So 18.07.2010 | | Autor: | mileu |
Hi,
wie recht du doch hast und wie blind ich doch war.
Danke an alle für die tolle Hilfe.
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