Stetigkeit im normierten Räume < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
Leider konnte ich diese Frage nicht lösen. Ich bedanke mich sehr bei Ihnen im Voraus für die Lösung. Wer könnte mir helfen? Bis Sonntag muss ich diese Frage lösen.
Frage: Seien (X, [mm] $||.||_x)$ [/mm] und (Y, [mm] $||.||_y)$ [/mm] normierte Räume. Ferner sei f: X --> Y eine stetige Abbildung, die auf der Menge [mm] $M\subsetX$ [/mm] konstant ist, d.h. f(x)=c für alle [mm] $x\in [/mm] M$ und $ [mm] c\in [/mm] Y$. Zeigen Sie, dass f auf [mm] $\overline{M}$ [/mm] konstant ist.
Welche Aussage können Sie daraus für [mm] $X=Y=\IR$ [/mm] und [mm] $M=\IQ [/mm] $ ableiten?
Herzlichen Dank im Voraus
Sauerstoff
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Do 06.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
auch für dich gilt, dass du wahrscheinlicher eine antwort erhälst, wenn du nicht nur eine aufgabe hier reinstellst, sondern auch eine ansatz mitlieferst oder konkrete fragen stellst (das gilt auch für deine anderen posts im linearen algebra-forum). trotzdem mal ein tipp zu dieser aufagabe:
für [m] x_0 \in \overline{M} [/m] gilt, dass für alle [m] \delta > 0 [/m] ein [m] x \in M [/m] existiert, so dass [m] \|x - x_0\| < \delta [/m], dass also der punkt [m] x_0 [/m] nicht weit von [m] M [/m] wegliegt.
nimm nun an, dass [m] f(x_0) \not=c [/m] und folgere einen widerspruch zur stetigkeit von $f$!
ich hoffe mit dem ansatz kriegst du jetzt was hin. gib doch dann mal deine ideen hier an, dann hilft dir jemand weiter.
grüße
andreas
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Oder versuch's mit Folgenstetigkeit (Betrachte spezielle Folgen in M, was ist der Grenzwert der Funktion?)
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Hallo KleinesBärchen
ich bin sehr dankbar bei dir. LEIDER habe ich nichts verstanden bei dieser Frage. Ist das möglich, mir die detaillierte Lösung zu schreiben? So könntest du mir wirklich sehr helfen. Denn ich habe für diese Frage viel Zeit verloren. Ich kann mich nicht mehr konzentrieren.
Danke im Voraus
Sauerstoff
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Ich werd's mal versuchen:
Sei die Folge [mm] x_n \in [/mm] M, [mm] x_n \to [/mm] x für n [mm] \to \infty, [/mm] x [mm] \not\in [/mm] M
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) [/mm] = c [mm] \Rightarrow [/mm] (wegen Stetigkeit) f(x)=c [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist konstant auf dem Abschluss von M
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Liebe KleinesBärchen
Danke vielmals für deine Lösung. Welche Aussage könnten wir für X=Y=R und M=Q sagen.
Da [mm] $\overline{M}=R [/mm] $ ist, könnten wir so sagen:
Wenn f(x) auf Q konstant ist, ist auch auf R konstant. ???
Danke
Sauerstoff
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Sa 08.01.2005 | | Autor: | moudi |
Genau so ist es.
mfG Moudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:23 So 09.01.2005 | | Autor: | Sauerstoff |
Hallo Moudi
Danke für deine Hilfe. Hast du eine Idee oder eine Lösung für meine anderen Fragen im Bereich Lineare Algebra? Ich wäre froh, wenn du etwas schreibst.
Danke im Voraus
Sauerstoff
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:05 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Sauerstoff |
Hallo Andreas
Du hast Recht. Ich mache das nur vorläufig, weil ich wirklich keine Zeit und viele Probleme habe, die ich mich damit beschäftigen soll. Total erschöpft!
Ausserdem habe ich die Frage nicht verstanden. Deshalb wollte ich sie schreiben. Ist das möglich, mir diesmal die genaue Lösung zu schreiben?
Danke vielmals im Voraus
Sauerstoff
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