Stetigkeit in (0,0) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Arniebo |
| Aufgabe | Es sei [mm] f:\IR^2->\IR [/mm] definiert durch
[mm] f(x,y):=\left\{\begin{matrix} \bruch{xy}{\wurzel{\left| x \right|}+y^2}, falls (x,y) \not= (0,0) \\
0, falls (x,y)=(0,0) \end{matrix}\right.
[/mm]
Man prüfe, ob f in (0,0) stetig ist. |
Hallo,
zu der Aufgabe habe ich bei einer Umformung eine Frage. Die Aufgabe selbst wollte ich über das Folgenkriterium lösen, dazu habe ich mir zwei Folgen [mm] x_{k} [/mm] und [mm] y_{k} [/mm] herausgesucht, für die [mm] x_{k} [/mm] -> 0 und [mm] y_{k} [/mm] -> 0 gilt. Seien dazu also [mm] x_{k}:=\bruch{1}{k} [/mm] und [mm] y_{k}:=x_{k}. [/mm] Dann streben beide gegen 0 und es folgt [mm] f(x_{k},y_{k})=\bruch{\bruch{1}{k}\bruch{1}{k}}{\wurzel{\left|\bruch{1}{k}\right|}+(\bruch{1}{k})^2}.
[/mm]
Nun habe ich grundsätzlich ja zwei Möglichkeiten: zum einen könnte ich den Bruch so betrachten und folgern, dass [mm] \bruch{1}{k^2} [/mm] -> 0 und [mm] \wurzel{\left|\bruch{1}{k}\right|} [/mm] -> 0 und daher [mm] f(x_{k},y_{k}) [/mm] -> 0 gilt. Aber ich könnte doch auch [mm] \bruch{1}{k^2} [/mm] einfach ausklammern und erhalte dann den Ausdruck [mm] \bruch{1}{\bruch{\wurzel{\left|\bruch{1}{k}\right|}}{\bruch{1}{k^2}} + 1}. [/mm] Durch Multiplikation mit dem Kehrwert erhalte ich dann: [mm] \wurzel{\left|\bruch{1}{k}\right|} [/mm] * [mm] k^2 [/mm] = [mm] \wurzel{\left|\bruch{1}{k}\right|} [/mm] * [mm] \wurzel{k^4} [/mm] = [mm] \wurzel{k^3}, [/mm] oder nicht? Und das strebt dann ja gegen [mm] \infty [/mm] statt gegen 0, sodass auf Grund der divergenten Teilfolge der gesamte Ausdruck nicht mehr konvergent sein kann. Könnt ihr mir vielleicht helfen, wo mein Fehler liegt? Irgendwie passt das ja nicht gerade zusammen...
Ich habe das ganze auch noch mit [mm] x_{k}:=\bruch{1}{k^4} [/mm] und [mm] y_{k}:=\bruch{1}{k} [/mm] ausprobiert, da strebt [mm] f(x_{k},y_{k}) [/mm] gegen 0.
Vielen Dank im Voraus,
Liebe Grüße,
Arniebo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Arniebo,
> Es sei [mm]f:\IR^2->\IR[/mm] definiert durch
> [mm]f(x,y):=\left\{\begin{matrix} \bruch{xy}{\wurzel{\left| x \right|}+y^2}, falls (x,y) \not= (0,0) \\
0, falls (x,y)=(0,0) \end{matrix}\right.[/mm]
>
> Man prüfe, ob f in (0,0) stetig ist.
> Hallo,
> zu der Aufgabe habe ich bei einer Umformung eine Frage.
> Die Aufgabe selbst wollte ich über das Folgenkriterium
> lösen, dazu habe ich mir zwei Folgen [mm]x_{k}[/mm] und [mm]y_{k}[/mm]
> herausgesucht, für die [mm]x_{k}[/mm] -> 0 und [mm]y_{k}[/mm] -> 0 gilt.
> Seien dazu also [mm]x_{k}:=\bruch{1}{k}[/mm] und [mm]y_{k}:=x_{k}.[/mm] Dann
> streben beide gegen 0 und es folgt
> [mm]f(x_{k},y_{k})=\bruch{\bruch{1}{k}\bruch{1}{k}}{\wurzel{\left|\bruch{1}{k}\right|}+(\bruch{1}{k})^2}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun habe ich grundsätzlich ja zwei Möglichkeiten: zum
> einen könnte ich den Bruch so betrachten und folgern, dass
> [mm]\bruch{1}{k^2}[/mm] -> 0 und [mm]\wurzel{\left|\bruch{1}{k}\right|}[/mm]
> -> 0 und daher [mm]f(x_{k},y_{k})[/mm] -> 0 gilt.
Wenn du Zähler und Nenner einzeln betrachtest, strebt der Bruch für [mm]k\to\infty[/mm] gegen [mm]\frac{0}{0}[/mm]
Das ist ein unbestimmter Ausdruck!
> Aber ich könnte
> doch auch [mm]\bruch{1}{k^2}[/mm] einfach ausklammern und erhalte
> dann den Ausdruck
> [mm]\bruch{1}{\bruch{\wurzel{\left|\bruch{1}{k}\right|}}{\bruch{1}{k^2}} + 1}.[/mm]
> Durch Multiplikation mit dem Kehrwert erhalte ich dann:
> [mm]\wurzel{\left|\bruch{1}{k}\right|}[/mm] * [mm]k^2[/mm] =
> [mm]\wurzel{\left|\bruch{1}{k}\right|}[/mm] * [mm]\wurzel{k^4}[/mm] =
> [mm]\wurzel{k^3},[/mm] oder nicht? Und das strebt dann ja gegen
> [mm]\infty[/mm] statt gegen 0,
Wieso?
Da steht doch dann nach deiner Vereinfachung [mm]\frac{1}{\sqrt{k^3}+1}[/mm] und das strebt doch gegen [mm]\frac{1}{\infty}=0[/mm]
> sodass auf Grund der divergenten
> Teilfolge der gesamte Ausdruck nicht mehr konvergent sein
> kann. Könnt ihr mir vielleicht helfen, wo mein Fehler
> liegt? Irgendwie passt das ja nicht gerade zusammen...
> Ich habe das ganze auch noch mit [mm]x_{k}:=\bruch{1}{k^4}[/mm] und
> [mm]y_{k}:=\bruch{1}{k}[/mm] ausprobiert, da strebt [mm]f(x_{k},y_{k})[/mm]
> gegen 0.
Das Folgenkrit. ist eher geeignet, Stetigkeit zu widerlegen durch Angabe eines Gegenbsp. (eine Folge, die die Stetigkeit kaputt macht)
Hier hast du 2 Bspfolgen, die Stetigkeit liefern.
Was ist mit all den andern unendlich vielen Folgen?
Du solltest nun die Vermutung " [mm]f(0,0):=0[/mm] ist stetige Ergänzung" beweisen.
Das [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium der Stetigkeit bietet sich an.
Es ist dann [mm]\left|\frac{xy}{\sqrt{|x|}+y^2}\right|=\frac{|x|\cdot{}|y|}{\sqrt{|x|}+y^2}[/mm] geschickt, aber nicht schwierig abzuschätzen ...
> Vielen Dank im Voraus,
> Liebe Grüße,
> Arniebo
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Arniebo |
Vielen Dank auf jeden Fall :). Ich versuche es dann noch einmal mit der Abschätzung.
Liebe Grüße
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