Stetigkeit in Banachraum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Fr 07.05.2010 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Sei $(V, ||.||)$ ein Banachraum und eine Supremumsnorm vom Endomorphismus L: V [mm] \to [/mm] V sei definiert durch [mm] ||L||_s:=sup\{||L(x)||: x\in V, ||x||=1\}.
[/mm]
Zeige: L ist stetig [mm] \gdw ||L||_s<\infty. [/mm] |
Hi!
Die eine Richtung meine ich hinbekommen zu haben.
Sei L stetig. Dann nehme ich mir eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in V, die gegen einen beliebigen, aber festen Wert x [mm] \in [/mm] V konvergiert mit ||x||=1.
Es folgt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n=x \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} L(x_n)=L(x) \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} ||L(x_n)||=||L(x)||<\infty, [/mm] da ||.|| auch stetig ist.
Und da das für alle x [mm] \in [/mm] V mit ||x||=1 gilt, muss auch [mm] ||L||_s=sup\{||L(x)||: x\in V, ||x||=1\}<\infty [/mm] sein.
Nur bei der Rückrichtung tu ich mich schwer. Wenn ich davon ausgehen könnte, dass V endlichdimensional ist, könnte ich vielleicht auch etwas damit hantieren, dass ein x [mm] \in [/mm] V die Darstellung [mm] x=a_1*x_1+...+a_n*x_n [/mm] hat, mit [mm] ||x_i||=1. [/mm] Kann mir da jemand einen Tipp geben?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Fr 07.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Und da das für alle x [mm]\in[/mm] V mit ||x||=1 gilt, muss auch
> [mm]||L||_s=sup\{||L(x)||: x\in V, ||x||=1\}<\infty[/mm] sein.
Wieso? Du hast unendlich viele Zahlen, über die du das Supremum bildest - da fehlt das Wesentliche! (A posteriori ist die Aussage natürlich richtig, denn die Äquivalenz stimmt ja, aber du hast das nicht bewiesen).
Schau dir lieber das Urbild des 1-Balles an!
> Nur bei der Rückrichtung tu ich mich schwer. Wenn ich
> davon ausgehen könnte, dass V endlichdimensional ist,
> könnte ich vielleicht auch etwas damit hantieren, dass ein
> x [mm]\in[/mm] V die Darstellung [mm]x=a_1*x_1+...+a_n*x_n[/mm] hat, mit
> [mm]||x_i||=1.[/mm] Kann mir da jemand einen Tipp geben?
Klassischer Weise per Kontradiktion: wenn L nicht stetig ist, ist obiges Supremum unendlich. Zeige dazu: wenn L nicht stetig ist, gibt es eine gegen 0 konvergente Folge, die im Bildraum nicht gegen 0 konvergiert. Normalisiere diese Vektoren und du bist fertig!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Fr 07.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke erstmal.
Mir ist gerade nicht ganz klar, was bei der Hinrichtung falsch war. Also ich hab ja gezeigt, dass [mm] ||L(x)||<\infty [/mm] ist für alle x [mm] \in [/mm] V mit ||x||=1. Dann muss doch das Supremum all dieser beschränkten ||L(x)|| auch beschränkt sein, oder? Ist das wirklich falsch oder habe ich das in meinem ersten Beitrag einfach nur zu schluderig erklärt?
Zur Rückrichtung:
Wenn f nicht stetig ist, gibt es also eine Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=x \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}L(x_n) \not= [/mm] L(x).
Das ist äquivalent zu:
Es gibt eine Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(x_n-x)=0 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}L(x_n-x) \not= [/mm] L(0)=0. Nennt man [mm] (x_n-x) [/mm] jetzt [mm] a_n, [/mm] so gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n=0 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}L(a_n) \not= [/mm] 0.
[mm] (\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}||L(a_n)|| \not= [/mm] 0)
Das mit dem Normieren hab ich nicht ganz verstanden. Soll ich dann statt [mm] a_n \bruch{a_n}{||a_n||} [/mm] betrachten? Kann aber nicht sein, da man ja dann keine Nullfolgen mehr hat, sondern eher eine Folge auf dem Rand des 1-Ball tanzender Punkte. Also ich weiß nicht, wie ich die Vektoren vernünftig normalisieren soll. Ich bin da echt ratlos.
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:59 Sa 08.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Mir ist gerade nicht ganz klar, was bei der Hinrichtung
> falsch war. Also ich hab ja gezeigt, dass [mm]||L(x)||<\infty[/mm]
> ist für alle x [mm]\in[/mm] V mit ||x||=1. Dann muss doch das
> Supremum all dieser beschränkten ||L(x)|| auch beschränkt
> sein, oder? Ist das wirklich falsch oder habe ich das in
> meinem ersten Beitrag einfach nur zu schluderig erklärt?
Das ist einfach nur falsch, richtig falsch - denn es gilt auch für unstetige L [m]||L(x)||<\infty[/m].
> Zur Rückrichtung:
[Schnipp Reduktion]
Jupp
> Das mit dem Normieren hab ich nicht ganz verstanden. Soll
> ich dann statt [mm]a_n \bruch{a_n}{||a_n||}[/mm] betrachten?
Eigentlich genau weil du ja nur normierte zur Supremums-Bildung zu lässt.
> Kann
> aber nicht sein, da man ja dann keine Nullfolgen mehr hat,
> sondern eher eine Folge auf dem Rand des 1-Ball tanzender
> Punkte. Also ich weiß nicht, wie ich die Vektoren
> vernünftig normalisieren soll. Ich bin da echt ratlos.
Erst die Nicht-Stetigkeit ausschlachten um gewisse Teilfolgen zu erhalten. Dann als (vor)letzten Schritt normalisieen. Oder wenn ihr äquivalente Umformulierungen hattet, kann man es sich schenken.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 So 09.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
So, noch mal eine Frage zur Hinrichtung: Ich sollte ja das Urbild des 1-Balls betrachten. Wenn ich den offenen Ball nehmen soll, ist das ja eine offene Menge in V, die den Kern von L enthält. Da diese Menge ja nicht unbedingt schon alle x [mm] \in [/mm] V mit ||x||=1 enthalten muss, muss ich den Ball sicher größer machen.
Letztendlich läuft es wohl darauf hinaus, dass ich eine feste Zahl K finde, sodass dann [mm] L^{-1}(B_K) [/mm] alle x mit ||x||=1 enthält. Dann wäre [mm] ||L||_s=K<\infty.
[/mm]
Wäre das so ok? Müsste nur noch begründen, dass man so ein K finden kann und dass nicht für jedes reelle K ein x mit ||x||=1 außerhalb des Urbildes dieses Balls bleibt.
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 So 09.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Letztendlich läuft es wohl darauf hinaus, dass ich eine
> feste Zahl K finde, sodass dann [mm]L^{-1}(B_K)[/mm] alle x mit
> ||x||=1 enthält. Dann wäre [mm]||L||_s=K<\infty.[/mm]
Per se erstmal nur "<". Wenn du den Rückzug vom 1-Ball hast, dann liegt ein [m]\varepsilon[/m]-Ball im Urbild das in diesem Ball liegt. Jetzt musst du skalieren - [m]||x||<1,d>0,||d*x||
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 So 09.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Sorry, irgendwie komme ich mit der Aufgabe nicht zurecht.
> Wenn du den Rückzug vom 1-Ball
> hast, dann liegt ein [m]\varepsilon[/m]-Ball im Urbild das in
> diesem Ball liegt.
ja.
> Jetzt musst du skalieren -
> [m]||x||<1,d>0,||d*x|| ||L(d*x)||
Wie kommt das? Also wo kommt das M her?
Und dann habe ich, dass für ||x||<1 gilt [mm] ||L(x)||<\bruch{M}{d}, [/mm] ok. Aber dann fehlt mir ja genau die Information für ||x||=1, also wie sich ||L(x)|| für genau diese Werte verhält, oder? Andererseits: Da L ja stetig ist, müssen die fehlenden Werte ja auch ca. um [mm] \bruch{M}{d} [/mm] liegen.
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 So 09.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Wie kommt das? Also wo kommt das M her?
Alles Beispiel für das Skalieren! Du sollst ja auch noch was tun, aber: wenn es stetig ist, dann dann gibt es ja einen a-Ball K mit [m]L(K)\subsetB_1(0)[/m]. Nach Skalierung kann man OBdA zum Abschluss übergehn, also aus [m]||x||=a[/m] folgt [m]||L(x)||<1[/m]. Nun wieder du.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi nochmals!
Also:
ich nehme mit einen 1-Ball [mm] (B_1) [/mm] um 0 und bilde das Urbild davon unter L. Aus dem Urbild, wähle ich mir eine anderen Ball mit Radius a [mm] B_a, [/mm] der die 0 enthält. So einer existiert ja, da L(0)=0 (L linear).
Wenn in [mm] B_a [/mm] schon alle x [mm] \in [/mm] V mit ||x||=1 drinnen sind, so ist nichts mehr zu zeigen, da dann [mm] ||L||_s \le [/mm] 1 gelten würde.
Ansonsten skaliert man den 1-Ball so hoch, dass das Urbild davon unter L die ganzen x [mm] \in [/mm] V mit ||x||=1 enthält. Wenn man den auf den Radius M [mm] \in \IR [/mm] skaliert und [mm] L^{-1}(B_M) [/mm] betrachtet, so enthält diese Menge eben die x mit ||x||=1 und [mm] ||A||_s \le M<\infty.
[/mm]
So?
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Und die Rückrichtung:
Es gibt also eine Folge [mm] x_n [/mm] mit [mm] $x_n \rightarrow [/mm] 0$ und [mm] $L(x_n) \rightarrow [/mm] c [mm] \not= [/mm] 0$. Daraus folgt schon mal auch, dass [mm] $||x_n|| \rightarrow [/mm] 0$ und [mm] $L(||x_x||) \rightarrow [/mm] ||c|| [mm] \not= [/mm] 0$.
Dann gilt:
[mm] $\bruch{x_n}{||x_n||} \rightarrow [/mm] x (||x||=1)$ und [mm] $L(\bruch{x_n}{||x_n||})=\bruch{1}{||x_n||}*L(x_n) \rightarrow "\bruch{1}{0}"*c=\infty=||L||_s$ [/mm] (da auch $c [mm] \not= [/mm] 0$).
So?
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Mo 10.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Hallo Teufel,
ich hab nicht die ganze Diskussion verfolgt.
Zunächst gilt (ich denke , das ist klar):
L ist stetig auf V [mm] \gdw [/mm] L ist stetig in 0
Beh.: L ist stetig in 0 [mm] \gdw $||L||_s [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
Beweis:
1. Sei L in 0 stetig. Annahme: [mm] $||L||_s [/mm] = [mm] \infty [/mm] $. Dann gibt es zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] ein [mm] x_n \in [/mm] V mit [mm] $||x_n||=1$ [/mm] und [mm] $||L(x_n)||>n ||x_n||.$
[/mm]
Setze [mm] $y_n [/mm] := [mm] \bruch{x_n}{||x_n||}$ [/mm] und [mm] $z_n:= \bruch{y_n}{||L(y_n)||}
[/mm]
Zeige nun: $ [mm] z_n \to [/mm] 0$, aber [mm] $||L(z_n)||=1$ [/mm] für alle n
Das ist ein Widerspruch
2. Ist $q:= [mm] ||L||_s [/mm] < [mm] \infty$, [/mm] so gilt
$||L(x)|| [mm] \le [/mm] q*||x||$ für jedes x
L ist also in 0 stetig
FRED
P.S.: dass V ein Banachraum ist wird nicht benötigt. Ein normierter Raum tuts auch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, das versteh ich. Schlimm, wenn man am Ende sieht, wie einfach das eigentlich war. Vielen Dank!
Und auch ein großes Dankeschön an SEcki, der sich über Tage mit mir abgeplagt hat. ;)
Bin im Thema Topologie noch nicht ganz fit, daher tat ich mich wohl bei deiner Variante so schwer. Aber ich glaube ich konnte deinen Weg nun auch nachvollziehen.
Danke nochmals!
Teufel
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