Stetigkeit in\IQ und \IR < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien g,f : [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig in [mm] \IR [/mm] mit g(x) = f(x) für alle x [mm] \in \IQ.
[/mm]
Zeigen Sie: f = g (d.h. f(x) = g(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] ). |
Hi zusammen
Also wenn ich [mm] \IR [/mm] als Erweiterung zu [mm] \IN, \IZ [/mm] ... nehme, muss ich eigentlich nur noch eine Zahl finden die sich nicht als Bruch schreiben läßt (z.B. [mm] \wurzel{2}) [/mm] und diese auf f(x) und g(x) anwenden.
Das Problem ist nur, dass ich kein Argument habe.
Hat vlt. einer eine Idee oder zwei?
Vielen Dank
SM
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Hallo,
> Es seien g,f : [mm]\IR \to \IR[/mm] stetig in [mm]\IR[/mm] mit g(x) = f(x)
> für alle x [mm]\in \IQ.[/mm]
>
> Zeigen Sie: f = g (d.h. f(x) = g(x) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR[/mm] ).
> Hi zusammen
>
> Also wenn ich [mm]\IR[/mm] als Erweiterung zu [mm]\IN, \IZ[/mm] ... nehme,
> muss ich eigentlich nur noch eine Zahl finden die sich
> nicht als Bruch schreiben läßt (z.B. [mm]\wurzel{2})[/mm] und
Du brauchst für den Beweis nicht wirklich eine solche Zahl "finden", es soll ja für alle rellen Zahlen [mm] \not\in \IQ [/mm] gelten!
> diese auf f(x) und g(x) anwenden.
>
> Das Problem ist nur, dass ich kein Argument habe.
Das verstehe ich nicht wirklich, meinst du, du wendest f(x) und g(x) auf deine relle Zahl an? Bedenke: bei f(x) kennst du die Zuordnung für [mm] x\not\in \IQ [/mm] doch garnicht!
Das Wichtige ist die Stetigkeit von f(x) und g(x).
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> Hat vlt. einer eine Idee oder zwei?
>
> Vielen Dank
> SM
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Stimmt. Weil wenn stetig dann gilt die Funktion auch für [mm] \IR [/mm] (nach dem Vollständigkeitsaxiom). Da liegt dann auch die Lösung, oder?
Also: Vollständigkeit von [mm] \IR [/mm] beweisen und "wörtlich" daraus folgern, dass wenn g(x) = f(x) für alle x [mm] \in \IQ \wedge [/mm] stetig nach Def., dann gilt g(x) = f(x) auch für alle x [mm] \in \IR [/mm] weil x [mm] \in \IR [/mm] sein muss.
Ich kann es leider nicht besser formulieren. Komm ich damit hin?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Mo 25.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Stimmt. Weil wenn stetig dann gilt die Funktion auch für
> [mm]\IR[/mm] (nach dem Vollständigkeitsaxiom).
Was soll das denn bedeuten ? Die Funktionen f und g sind auf [mm] \IR [/mm] definiert !!
> Da liegt dann auch
> die Lösung, oder?
> Also: Vollständigkeit von [mm]\IR[/mm] beweisen und "wörtlich"
> daraus folgern, dass wenn g(x) = f(x) für alle x [mm]\in \IQ \wedge[/mm]
> stetig nach Def., dann gilt g(x) = f(x) auch für alle x
> [mm]\in \IR[/mm] weil x [mm]\in \IR[/mm] sein muss.
>
> Ich kann es leider nicht besser formulieren. Komm ich damit
> hin?
Nein. Schau mal: https://matheraum.de/read?i=647196
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Mo 25.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] x_0 \in \IR. [/mm] Nimm eine Folge rationaler Zahlen [mm] (r_n) [/mm] mit [mm] r_n \to x_0
[/mm]
Was treiben die Folgen [mm] (f(r_n)) [/mm] und [mm] (g(r_n)) [/mm] ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Mo 25.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Konvergieren gegen Null?
Wieso denn das ? Nicht im Nebel stochern und raten. Denken ! f und g sind doch stetig !
Tipp: Folgenstetigkeit
FRED
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Ach sooooo....Cauchykriterium umgedreht. Richtig?
Ich sage also: wenn If(x) - f(x0)I < Epsilon dann auch Ix - x0I < delta.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Mo 25.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ach sooooo....Cauchykriterium umgedreht. Richtig?
>
> Ich sage also: wenn If(x) - f(x0)I < Epsilon dann auch Ix -
> x0I < delta.
na klar und wenn kompakt, dann diffbar und wenn integrierbar, dann abzählbar
Unfug ! Der Stetigkeitsbegriff scheint Dir überhaupt nicht klar zu sein !
Ist $h: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine stetige Funktion und [mm] x_0 \in \IR [/mm] und weiter [mm] (x_n) [/mm] eine Folge, die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert, wogegen konvergiert dann [mm] (f(x_n)) [/mm] ?
FRED
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Gegen [mm] f_{(x_{0})} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:14 Di 26.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegen [mm]f_{(x_{0})}[/mm] ?
Bingo !
FRED
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| Aufgabe | Es seine g,f: [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig in [mm] \IR [/mm] mit [mm] g_{(x)} [/mm] = [mm] f_{(x)} \forall [/mm] x [mm] \in \IQ
[/mm]
Zeigen Sie: f=g (d.h. [mm] f_{(x)} [/mm] = [mm] f_{(x)} \forall x\in \IR) [/mm] |
h: [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig
[mm] x_{0} \in \IR
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (x_{n})\to x_{0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_{(x_{n})} \to f_{(x_{0})}
[/mm]
[mm] g_{(x)} [/mm] analog.
und
h: [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig
[mm] x_{(n)} \in \IR
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\0^{+}} (x_{n}) \to [/mm] 1
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\1} f_{(x_{0})} [/mm] = 1
[mm] g_{(x)} [/mm] analog.
Jetzt hab ich 2 Funktionen die in [mm] \IR [/mm] für alle x [mm] \in \IQ [/mm] gleich und stetig sind, oder? War das jetzt die Aufgabe? Zwei Funktionen zu beschreiben die identisch sind?
Grüße
SM
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:16 So 31.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
weder f(x) noch g(x) müssen irgendwo =1 sein.
Hol noch mal tief Luft.
f und g sind stetig. f=g und f-g=0 für alle rationalen zahlen
also f-g=0 für alle rationalen Zahlen.
und f-g stetig auf ganz [mm] \IR
[/mm]
jetzt sollst du zeigen dass f-g=0 auch auf ganz [mm] \IR [/mm] nicht nur für rationale Zahlen.
Gruss leduart
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Hi
Der Witz ist, das es mir sonnenklar ist dass f und g identisch sind. Also f-g=g-f=0.
Und [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] sind die Irrationalen Zahlen. Ok.
Jetzt sagt die Aufgabe, dass f und g stetig in [mm] \IQ [/mm] sind. Also ist nach Vorgabe nicht gesagt dass sie auch für [mm] \IR [/mm] gilt. Das soll man zeigen. Aber wie bitte?
Ich meine, ich kann natürlich den Zwischenwertsatz anbringen und sagen "Sei p [mm] \in [/mm] [a,b] mit [mm] f_{(p)}=\wurzel{2}. [/mm] Nach dem Zwischenwertsatz muss eine stetige Funktion mit [mm] f_{a}
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Hi,
ich glaub du verrennst dich gerade. In der Aufgabenstellung
ist doch [mm] f,g[/mm] stetig auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] vorausgesetzt.
Beste Grüße
DerSpunk
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 So 31.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
der ZWS ist hier unnötig. bekanannt ist
1. f,g, f-g stetig auf [mm] \IR
[/mm]
2. f=g [mm] auf\IQ
[/mm]
zu zeigen f=g auf [mm] \IR
[/mm]
wenns nicht andrs geht mach nen Widerspruchsbeweis: Angenommen [mm] f(r)\ne [/mm] g(r) in einem Punkt [mm] r\inR/Q [/mm] was würde dann folgen?
Gruss leduart
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Dann wäre [mm] g_{(r)} [/mm] z.B. nicht in [mm] \IQ [/mm] also in [mm] \IR [/mm] und da nach Voraussetzung beide auf [mm] \IR [/mm] stetig sind muss auch [mm] f_{(r)} [/mm] in diesem Punkt in [mm] \IR [/mm] liegen. Daraus würde folgen dass beide unstetig im Punkt [mm] r/\IQ [/mm] sind und das ginge gegen die Voraussetzung. Also muss wenn eine der beiden funktionen einen Funktionswert in [mm] \IR [/mm] hat auch die andere diesen Wert annehmen sonst ist nicht f=g.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 So 31.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst langsamer denken und nicht mit Worten sondern der Def. von Stetigkeit arbeiten. "wegen der Stetigkeit" ist kein Argument, man muss sagen warum wegen der Stetigkeit.
wenn r reell ist muss doch nicht f(r) reell sein, wie kommst du darauf? aber egal ob es reell oder nicht ist, du willst doch zeigen dass [mm] f(r)\ne [/mm] g(r) der Stetigkeit in [mm] \IR [/mm] widerspricht, oder dass f(r)-g(r) für einen beliebigen reellen Punkt gleich sind.
Jetzt schreib endlich mal genau die Def. der Stetigkeit hin!
Folgenst. oder [mm] \epsilon \delta. [/mm] Und dann benutze sie explizit.
und natürlich brauchst du auch die Definition bzw, Eigenschaft von reellen Zahlen!
Also schreib beides auf. und dann benutz beides, explizit, kein gefühlsmäsiges Rumgerede.
Gruss leduart
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