Stetigkeit, mehrdimensional < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Betrachten Sie folgende Funktionen
[mm] $f_i:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$
[/mm]
[mm] $f_1(x,y):=\begin{cases} \frac{2xy}{x^2+y^2},\text{falls}(x,y)\neq(0,0)\\0,\text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
[mm] $f_2(x,y):=\begin{cases} \frac{|y|}{x^2}e^{-\frac{|y|}{x^2}},\text{falls}x\neq0\\0,\text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
a) Untersuchen Sie die Einschränkungen
[mm] $g_i:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
[/mm]
[mm] $g_i(r):=f_i(r\cos(\phi),r\sin(\phi))$
[/mm]
für beliebiges [mm] $\phi\in[0,2\pi], [/mm] i=1,2$ dieser Funktionen auf Geraden durch den Ursprung auf Stetigkeit.
b) Untersuchen Sie nun die Funktionen [mm] $f_i, [/mm] i=1,2$ selbst auf Stetigkeit. |
Hi,
ich komme gerade mit dieser Aufgabe nicht wirklich zurecht.
Erstmal zu a)
Wenn ich [mm] $g_1(r)=f_1(r\cos(\phi),r\sin(\phi))$
[/mm]
berechne, dann komme ich auf
[mm] $g_1(r)=\sin(2\phi)$
[/mm]
Also eine Konstante, da sie von r unabhängig ist.
Dies wäre nun stetig, wenn [mm] \sin(2\phi)=0 [/mm] ist, da sie sonst im Nullpunkt nicht stetig wäre.
Wäre das so erstmal richtig? Mich verwirrt dieses "auf Geraden durch den Ursprung" ein wenig.
Könnte mir jemand erklären wie die Aufgabe gemeint ist?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Do 01.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Betrachten Sie folgende Funktionen
>
> [mm]f_i:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}[/mm]
>
> [mm]f_1(x,y):=\begin{cases} \frac{2xy}{x^2+y^2},\text{falls}(x,y)\neq(0,0)\\0,\text{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> [mm]f_2(x,y):=\begin{cases} \frac{|y|}{x^2}e^{-\frac{|y|}{x^2}},\text{falls}x\neq0\\0,\text{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> a) Untersuchen Sie die Einschränkungen
>
> [mm]g_i:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm]
>
> [mm]g_i(r):=f_i(r\cos(\phi),r\sin(\phi))[/mm]
>
> für beliebiges [mm]\phi\in[0,2\pi], i=1,2[/mm] dieser Funktionen
> auf Geraden durch den Ursprung auf Stetigkeit.
>
> b) Untersuchen Sie nun die Funktionen [mm]f_i, i=1,2[/mm] selbst auf
> Stetigkeit.
> Hi,
>
> ich komme gerade mit dieser Aufgabe nicht wirklich zurecht.
>
> Erstmal zu a)
>
> Wenn ich [mm]g_1(r)=f_1(r\cos(\phi),r\sin(\phi))[/mm]
>
> berechne, dann komme ich auf
>
> [mm]g_1(r)=\sin(2\phi)[/mm]
>
> Also eine Konstante, da sie von r unabhängig ist.
> Dies wäre nun stetig, wenn [mm]\sin(2\phi)=0[/mm] ist, da sie
> sonst im Nullpunkt nicht stetig wäre.
>
> Wäre das so erstmal richtig?
Ja. Bestimme die [mm] $\phi$ [/mm] auch.
> Mich verwirrt dieses "auf
> Geraden durch den Ursprung" ein wenig.
Es ist wohl so gemeint: Bei festem [mm] $\phi$ [/mm] bildet die Menge [mm] $\{(r\cos\phi, r\sin\phi)|r\in \IR\}$ [/mm] eine Ursprungsgerade, auf welche [mm] $f_{1}$ [/mm] eingeschraenkt wird.
>
> Könnte mir jemand erklären wie die Aufgabe gemeint ist?
> Vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Das wäre dann für
[mm] $\phi\in\{0,\frac{1}{2}\pi,\pi,\frac{3}{2}\pi,2\pi\}$
[/mm]
Der Fall.
Muss ich diesen Satz mit der Ursprungsgerade eigentlich sonderlich beachten? Oder gehört zu der Aufgabe mehr als das was ich gerade getan habe?
Wenn ich für
[mm] $g_2(r)=f_2(r\cos(\phi),r\sin(\phi))$
[/mm]
gleich vorgehe, dann erhalte ich:
[mm] $g_2(r)=\frac{|sin(\phi)|}{r\cos^2(\phi)}e^{-\frac{|sin(\phi)|}{r\cos^2(\phi)}}$
[/mm]
Und das ist wieder Null wenn [mm] $\sin(\phi)$ [/mm] Null ist. Also für
[mm] $\phi\in\{0,\pi,2\pi\}$
[/mm]
Womit sich die Funktion dann stetig fortsetzen ließe.
Wäre das die a schon gewesen?
Bei der b) muss ich ja auch eigentlich nur gucken was im Nullpunkt passiert, denn alles was "darüber hinaus geht" haben wir einfach eine simple Verkettung stetiger Funktionen und ist somit stetig. Die kritische Stelle ist also für wenn ich für x und y zwei Nullfolgen betrachte.
Sind die Ideen so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Fr 02.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie du richtig festgestellt hast ist [mm] g_1 [/mm] nur auf der Geraden x=0 , y=0 und x=y stetig, auf allen anderen Geraden nicht, wegenn [mm] g(0,0)\not=0
[/mm]
damit hast du dann sofort, dass [mm] f_1 [/mm] nicht stetig ist.
entsprechend [mm] g_2
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:21 Fr 02.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Danke.
Edit: Sehe gerade, dass ich mich gerade bei dir etwas verlesen habe.
Also [mm] f_1 [/mm] ist unstetig, weil es nicht für alle Werte in Null stetig ist. Das reicht schon?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:33 Fr 02.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke.
>
> Edit: Sehe gerade, dass ich mich gerade bei dir etwas
> verlesen habe.
>
> Also [mm]f_1[/mm] ist unstetig, weil es nicht für alle Werte in
> Null stetig ist. Das reicht schon?
Nein.
Es ist z.B. [mm] f_1(x,0)=0 \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0 und [mm] f_1(x,x)=1 \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0.
Das bedeutet:
[mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f_1(x,y) [/mm] existiert nicht. Damit ist [mm] f_1 [/mm] in (0,0) nicht stetig.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Fr 02.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, okay. So macht das natürlich Sinn. Danke.
Die Argumentation für die Unstetigkeit von [mm] $f_2$ [/mm] funktioniert dann Analog.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Hat hier jemand noch einen Tipp für mich?
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