Stetigkeit nur in einem Punkt < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Do 19.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Zeigen sie, das die Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] mit
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x\in\IQ, \\ 1-x, & \mbox{falls } x\not\in\IQ \end{cases}
[/mm]
nur an der Stelle [mm] x=\bruch{1}{2}stetig [/mm] ist. |
Wie mache ich das? :-[
Für einen Ansatz wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen sie, das die Funktion [mm]f:\IR\to\IR[/mm] mit
> [mm]f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x\in\IQ, \\ 1-x, & \mbox{falls } x\not\in\IQ \end{cases}[/mm]
>
> nur an der Stelle [mm]x=\bruch{1}{2}stetig[/mm] ist.
> Wie mache ich das? :-[
> Für einen Ansatz wäre ich sehr dankbar.
Hallo,
Ich würde mir zunächst ein beliebiges a [mm] \in \IQ [/mm] \ [mm] \{\bruch{1}{2}\} [/mm] hernehmen und zeigen, daß f hier nicht stetig ist.
Das kannst Du tun, indem Du z.B. die Folge [mm] x_n:=a+\bruch{\wurzel{2}}{n}
[/mm]
betrachtest. Diese Folge konvergiert gegen a. Die Folge der Funktionswerte konvergiert nicht gegen f(a). Also ist die Funktion nicht stetig.
Ähnliches kannst Du für a [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] tun.
Zu zeigen bleibt dann die Stetigkeit im Punkt [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] was Du mit dem [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] machen könntest.
(Hast Du Dir die Funktion mal skizziert? An der Stelle [mm] x=\bruch{1}{2} [/mm] schneiden sich ja die Geraden y=x und y=1-x, d.h. die Funktionswerte von f weichen hier beliebig wenig von [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ab, egal, ob man eine rationale oder irrationale Stelle betrachtet, sofern sie nur dicht genug an [mm] x=\bruch{1}{2} [/mm] liegt.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
okay ... bzw nicht okay :-[ ..
1. was ist das für eine Folge und wie kommst du da drauf?
2. Wie funzt das mit dem [mm] \delta-\varepsilon-Kriterium? [/mm] Also was es aussagt ist klar: [mm] \forall\varepsilon>0\exists\delta>0 |x-y|<\delta [/mm] => [mm] |f(x)-f(y)|<\varepsilon
[/mm]
aber wie finde ich ein geeignetes [mm] \varepsilon [/mm] bzw. [mm] \delta [/mm] ?
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> okay ... bzw nicht okay :-[ ..
> 1. was ist das für eine Folge und wie kommst du da drauf?
Hallo,
daß ich eine Folge gesucht habe, hängt mit der Def. der Stetigkeit zusammen.
Eine Def. für Stetigkeit an der Stelle a ist: [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x)=f(a).
[/mm]
Das bedeutet, daß für jede beliebige Folge, die gegen a konvergiert, die Folge ihrer Funktionswerte gegen f(a) konvergiert. (Vorlesung)
Will man nun zeigen, daß eine Funktion an einer Stelle a eben nicht stetig ist, kann man das tun, indem man eine Folge angibt, die gegen a konvergiert, die Folge ihrer Funktionswerte jedoch nicht gegen f(a).
Genau das war mein Ansinnen. So ist meine Folge gemacht.
> 2. Wie funzt das mit dem [mm]\delta-\varepsilon-Kriterium?[/mm]
> Also was es aussagt ist klar:
> [mm]\forall\varepsilon>0\exists\delta>0 |x-y|<\delta[/mm] =>
> [mm]|f(x)-f(y)|<\varepsilon[/mm]
> aber wie finde ich ein geeignetes [mm]\varepsilon[/mm] bzw. [mm]\delta[/mm]
> ?
Hast Du's Dir aufgemalt?
Dann siehst Du eigentlich direkt, daß es mit [mm] \delta=\varepsilon [/mm] funktioniert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
Das mit der Folge hab ich zwar noch nicht so ganz durchschaut (da war ich wohl in der Vorlesung grad mit was anderem Beschäftigt :-[) muss ich mir aber nochmal richtig zu gemüte führen aber zu dem [mm] \delta-\varepsilon-Kriterium:
[/mm]
Es sei [mm] \delta=\varepsilon [/mm] und [mm] |x-y|<\delta [/mm] dann gilt:
1.Fall [mm] x\not\in\IQ:
[/mm]
[mm] |f(x)-f(y)|=|1-x-1+y|=|-x+y|=|(-1)(x-y)|=x-y<\delta=\varepsilon
[/mm]
2.Fall [mm] x\in\IQ:
[/mm]
[mm] |f(x)-f(y)|=|x-y|<\delta=\varepsilon
[/mm]
Damit ist f(x) nur in [mm] \bruch{1}{2} [/mm] stetig.
Ist das so korrekt?
Und noch eine weitere Frage. Wie finde ich Allgemein das Verhältniss von [mm] \delta [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] ??? .. Also zb wenn ich die Stetigkeit von [mm] f(x)=x^2 [/mm] oder [mm] g(x)=\bruch{2x-4}{x^2} [/mm] etc. beweisen oder wiederlegen soll??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Sa 21.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. mit y meinst du wohl 0,5.
2. du kannst x nicht einfach aus [mm] \IQ [/mm] oder nicht [mm] \IQ [/mm] nehmen, denn es muss ja FÜR ALLE x,y mit usw. gelten.
so wie dus schreibst wär ja das ding in jedem Punkt stetig, und du hast doch grad bewiesen dass es in allen Pkt. unstetig ist! jetzt wirklich den Punkt [mm] 1\2 [/mm] benutzen. Wenn dus Zeichnest siehst du doch warum es da stetig ist.
du darfst allerdings sagen wenn x..dann, und wenn x ..dann,
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
wie mach ich das dann? und wie finde ich allgemein die beziehung zwischen [mm] \delta [/mm] und [mm] \varepsilon
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Sa 21.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du [mm] \delta=\varepsilon [/mm] wählst, dann kommst du wahrscheinlch hin.
und |f(x)-f(1/2)|=|x-1/2| denn 1-x-1/2=1/2-x und x-1/2 sind die 2 Differenzen wenn x rational oder irrational, die Beträge sind gleich. also kann ich zu jeden [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] finden, so dass [mm] |f(x)-f(1/2)|<\varepsilon [/mm] für alle x mit [mm] |x-1/2|<\delta=\varepsilon
[/mm]
i.A. rechnet man mit nem [mm] \varepsilon [/mm] los, kommt dann mit was raus das von [mm] \varepsilon [/mm] und x abhängtfür [mm] |x-x_0| [/mm] und nennt das dann [mm] \delta. [/mm] (hinterher tut man so. als ob man zuerst das [mm] \delta [/mm] hätte!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
Heißt das dann, dass ich z.B. wenn ich die Stetigkeit der Funktion [mm] f(x)=-x^2+1 [/mm] zeigen oder widerlegen soll, dass ich dann beginne mit:
[mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] |(-x^2+1)-(-x_0^2+1)| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] |-x^2+x_0^2| [/mm] = [mm] |(-1)(x^2-x_0^2)|=|(x^2-x_0^2)| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
und wenn ja wie mache ich jetzt weiter? :-[
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mo 23.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Heißt das dann, dass ich z.B. wenn ich die Stetigkeit der
> Funktion [mm]f(x)=-x^2+1[/mm] zeigen oder widerlegen soll, dass ich
> dann beginne mit:
> [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]|(-x^2+1)-(-x_0^2+1)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]|-x^2+x_0^2|[/mm] = [mm]|(-1)(x^2-x_0^2)|=|(x^2-x_0^2)|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
[mm] |(x^2-x_0^2)|=|x-x_0|*|x+x_0|<(max(2x_0,2x)*|x-x_0|<\varepsilon
[/mm]
also richtig wenn [mm] |x-x_0|<\varepsilon/(2(x_0+1)=\delta [/mm] und [mm] \delta<0,5 [/mm] (wegen der [mm] (x_0+1))
[/mm]
jetz kannst du von vorn anfangenen: zu jedem [mm] \varepsilon> [/mm] wähle [mm] \delta....
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Di 24.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
Dann also derart anfangen:
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 wähle ein [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{2}. [/mm] Nun muss gelten:
[mm] |x-x_0|<\delta [/mm] => [mm] |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon
[/mm]
Dann setzte ich die konkreten Werte ein:
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|x^2+1-x_0^2-1|=|x^2-x_0^2|=|x-x_0|*|x+x_0|<(max(2x,2x_0))*|x-x_0|...
[/mm]
Und jetzt? :-[
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Di 24.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst [mm] \delta [/mm] nicht unabhängig von der stelle wählen!
Je größer [mm] x_0, [/mm] bei dem du die stetigkeit beweisen willst, desto kleiner [mm] \delta.
[/mm]
also du wählst [mm] \delta<\varepsilon/(2x_0) [/mm] und [mm] \delta<0,5
[/mm]
dann ist [mm] |x+x_0|<2x_0 [/mm] und [mm] |f(x)-f(x_0)|<\delta*2x_0=\varepsilon..
[/mm]
Wenn du ein abgeschlossenes Intervall hast, [mm] x\in[a,b] -\infty
Gruss leduart
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> Ich würde mir zunächst ein beliebiges a [mm]\in \IQ[/mm] \
> [mm]\{\bruch{1}{2}\}[/mm] hernehmen und zeigen, daß f hier nicht
> stetig ist.
>
Genauer: Dabei wählst du a [mm] \in \IQ. [/mm]
> Das kannst Du tun, indem Du z.B. die Folge
> [mm]x_n:=a+\bruch{\wurzel{2}}{n}[/mm]
> betrachtest. Diese Folge konvergiert gegen a. Die Folge
> der Funktionswerte konvergiert nicht gegen f(a).
Begründung: Wegen a [mm] \in \IQ [/mm] ist f(a)=a, wegen [mm] x_n:=a+\bruch{\wurzel{2}}{n} \not\in \IQ [/mm] ist aber [mm] f(x_n)=1-x_n [/mm] und konvergiert somit gegen [mm] 1-a\ne [/mm] a =f(a), falls a [mm] \ne [/mm] 1/2.
> Also istdie Funktion nicht stetig.
>
> Ähnliches kannst Du für a [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] tun.
>
> Zu zeigen bleibt dann die Stetigkeit im Punkt [mm]\bruch{1}{2},[/mm]
> was Du mit dem [mm]\varepsilon-\delta-Kriterium[/mm] machen
> könntest.
> (Hast Du Dir die Funktion mal skizziert? An der Stelle
> [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm] schneiden sich ja die Geraden y=x und y=1-x,
> d.h. die Funktionswerte von f weichen hier beliebig wenig
> von [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ab, egal, ob man eine rationale oder
> irrationale Stelle betrachtet, sofern sie nur dicht genug
> an [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm] liegt.)
>
> Gruß v. Angela
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