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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:55 So 25.11.2007 | | Autor: | Steffi1988 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie, in welchen Punkten die folgenden Funktionen f : [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig bzw.
unstetig sind.
[mm] f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \\ \bruch{exp(x) +1 }{x}, & \mbox{für } x \mbox{ not = 0} \end{cases} [/mm] |
Hallo, habe diese Aufgabe bekommen und ich weiß ehrlich gesagt nicht wo ich anfangen soll :(
Ich weiß, Stetigkeit = "Stift aufsetzen und durchzeichnen" ;o)
Lg,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 So 25.11.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Steffi,
> Bestimmen Sie, in welchen Punkten die folgenden Funktionen
> f : [mm]\IR \to \IR[/mm] stetig bzw.
> unstetig sind.
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \\ \bruch{e(x) +1 }{x}, & \mbox{für } x \mbox{ not = 0} \end{cases}[/mm]
Frage 1: Hast Du die Aufgabe richtig abgeschrieben?
Weil: So wie sie dasteht, ist die Funktion offensichtlich unstetig, da kein Grenzwert für x [mm] \to [/mm] 0 existiert.
Würde aber [mm] \bruch{e^{x} \red{-}1 }{x} [/mm] dastehen, wäre das schon eine etwas interessantere Aufgabe!
Frage 2: Kennst Du denn schon die Regeln von de L'Hospital?
mfG!
Zwerglein
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Hallo,
entschuldige..
Korrekt heißt es
[mm] f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \\ \bruch{exp(x) +1 }{x}, & \mbox{für } x \mbox{ not = 0} \end{cases}
[/mm]
habs korigiert...
Nein, den Satz von l'Hospital hatten wir noch nicht..
Gruß,
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 So 25.11.2007 | | Autor: | Fry |
Hallo Steffi,
die beiden Teilfunktionen sind stetige Funktionen, deswegen musst du nur die Stellen betrachten, wo die Bereiche aufeinander treffen, also hier bei x=1.
Nach Def. muss gelten [mm] f(x_{0}) =\limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] f(x).
Gilt also: f(0) = [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] f(x)?
f(0)=1,
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x)=\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x}+1}{x}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow 0}(e^x+1) *\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1}{x}=...
[/mm]
Die Limiten müsstest du kennen.
VG
Fry
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Ich glaube ich verstehe nichtmal die Aufgabenstellung richtig :(
Wir haben zwei Funktionen.. OKey, dass sehe ich...
Die zweite ist
f(x) = [mm] \bruch{exp(x) +1 }{x} [/mm] mit x ungleich 0
die erste ist
f(x) = 1 (?? - Ich glaube hier ist mein problem...)
Und warum wissen wir hier sofort das beide Fkt. stetig sind?
Bei der E-Funktion ist es mir klar...
und wo "siehst" Du, dass sie bei x = 1 zusammentreffen?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 So 25.11.2007 | | Autor: | Fry |
Oh, tut mir leid, ich meine sie treffen bei x=0 aufeinander.
Es gibt eine gewisse Menge an Funktionen, von denen man weiß, dass sie stetig sind, z.B. sind alle differenzierbaren Funktionen auf ihrem Definitionsbereich stetig, z.B. die Potenzfunktionen, [mm] x^{n}auf [/mm] R, [mm] e^x [/mm] auf R ln(x) auf [mm] (0,\infty),1/x [/mm] für x ungleich 0, sin x, cos x auf Rusw. Eine Verknüpfung von stetigen Funktionen ist auch wieder stetig z.B. [mm] e^{x^{3}}.
[/mm]
Du musst dir jetzt vorstellen, dass du dich einer bestimmten Stelle hier x=0 von links bzw von rechts näherst. Wenn sich nun die Funktionswerte gegen den Funktionswert an der Stelle 0 streben, dann ist die Funktion an der Stelle stetig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 So 25.11.2007 | | Autor: | Fry |
Also eigentlich hast du nur eine Funktion, wobei die Funktion je nach x-Wert unterschiedlich definiert ist,
In diesem Fall soll man, wenn man x=0 hat, setzt man f(x)=1.
Für alle anderen Zahlen muss man x in den Term (exp(x)- 1 )/x einsetzen.
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Vielen lieben Dank für Deine Erklärung.
Nur kann ich Deinen Schritten nicht ganz folgen :(
Also an x = 0 ist müssen wir schauen was passiert...
Wir nähern uns von "links" an die Funktion und von "rechts".
Und wenn sowohl die Näherung von links als auch die Näherung von rechts gleich sind, ist die Funktion stetig, da sie "nicht unterbrochen" wird.
Ist dies so korrekt?
Kannst Du mir es nochmal bitte genau erklären ?
Tut mir leid :(
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 So 25.11.2007 | | Autor: | Fry |
Genau : )
Schau dir mal am besten diese Seite an, ist schwer ohne Bild so was zu erklären
http://www.mathematik.net/stetigkeit/0-inhalt-1.htm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 So 25.11.2007 | | Autor: | Fry |
Hier noch ein paar Rechenbeispiele + Erklärungen
http://www.uni-bonn.de/~usa00004/pdf/kap4.pdf
Beispiele:
http://homepage.univie.ac.at/irene.klein/stetbsp.pdf
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