Stetigkeit überprüfen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Do 02.02.2012 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Sind die folgenden Funktionen stetig?
[mm] f(x,y)=\bruch{xy^2}{x^2+y^4} [/mm] für [mm] x,y\not=0 [/mm] und 0 für x,y=0 |
Ich hoffe mir kann einer an diesem Beispiel erklären, wie man Stetigkeit überprüft... stetigkeit heißt doch, dass man die Funktion "in einem Zug zeichne kann"...
Ich habe mir das schon in Büchern durchgelesen aber leider verstehe ich nur Bahnhof und weiß garnicht, wie ich an so eine Aufgabe ran gehen soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Fr 03.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sind die folgenden Funktionen stetig?
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> [mm]f(x,y)=\bruch{xy^2}{x^2+y^4}[/mm] für [mm]x,y\not=0[/mm] und 0 für
> x,y=0
> Ich hoffe mir kann einer an diesem Beispiel erklären, wie
> man Stetigkeit überprüft... stetigkeit heißt doch, dass
> man die Funktion "in einem Zug zeichne kann"...
vergiss das. Da gibt's unzählige Beispiele, wo das nicht passt (das banalste: Jede Folge ist eine stetige Funktion. Aber zeichne mal (den Graphen) eine(r) Folge "in einem Zug"... Wie soll das gehen? Da fehlen Sachen wie "zusammenhängender Definitionsbereich" etc., wenn man diese Formulierung benutzen will. Dass der Begriff der Stetigkeit evtl. mal so motiviert worden ist, mag wieder was anderes sein...). Wenn man das sagt, muss man viele Voraussetzungen erwähnen, was die meisten nicht machen.
Mach's hier über die Folgenstetigkeitsdefinition - das bietet sich an (ich zitiere diese mal grob):
Eine Funktion ist stetig in [mm] $z\,,$ [/mm] wenn für jede Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] mit [mm] $z_n \to [/mm] z$ auch [mm] $f(z_n) \to [/mm] z$ folgt.
Bei Dir:
Halte $z [mm] \in \IR^2$ [/mm] fest, zunächst $z [mm] \not=(0,0)\,.$ [/mm] Dann kannst Du $z=(x,y)$ mit $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] schreiben. Ebenso besteht eine Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] im [mm] $\IR^2$ [/mm] aus zwei Komponentenfolgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] bzw. [mm] $(y_n)_n$ [/mm] mit [mm] $z_n=(x_n,y_n)$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
Offenbar gilt [mm] $z_n \to [/mm] z$ bzw. gleichwertig per Definitionem:
[mm] $$\|z_n-z\|_2 \to [/mm] 0$$
genau dann, wenn [mm] $x_n \to [/mm] x$ und [mm] $y_n \to y\,.$ [/mm]
(Relativ schnell erkennt man das wegen [mm] $\|z_n-z\|_2=\|(x_n,y_n)-(x,y)\|_2=\|(x_n-x,y_n-y)\|_2=\sqrt{(x_n-x)^2+(y_n-y)^2}\,.$) [/mm]
Da wir im Folgenden ja [mm] $z_n \to [/mm] z$ voraussetzen, bedeutet dass dann, dass wir [mm] $z_n=(x_n,y_n)$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] x$ und [mm] $y_n \to [/mm] y$ voraussetzen. Zudem erinnere Dich an [mm] $z=(x,y)\,.$
[/mm]
Du wirst nun nachweisen können/sollen:
An jeder Stelle $z=(x,y) [mm] \not=(0,0)$ [/mm] ist [mm] $f\,$ [/mm] stetig:
Sei $z=(x,y) [mm] \not=(0,0)$ [/mm] und gelte mit [mm] $z_n=(x_n,y_n)$ [/mm] nun [mm] $x_n \to [/mm] x$ und [mm] $y_n \to x\,.$ [/mm] O.E. können wir annehmen, dass alle [mm] $z_n \not=(0,0)$ [/mm] sind. Dann folgt
[mm] $$f(x_n,y_n)=\frac{x_ny_n^2}{x_n^2+y_n^4}\,.$$
[/mm]
Ferner gilt
[mm] $$f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^4}\,.$$
[/mm]
Wie kann man hier [mm] $f(x_n,y_n) \to [/mm] f(x,y)$ begründen? (Rechenregeln für konvergente Folgen nach und nach benutzen!)
Und nun zur Stelle $z=(0,0)$:
Hier muss man zeigen widerlegen, dass
[mm] $$f(z_n)=f(x_n,y_n) \to [/mm] 0=f(0,0)$$
folgt, wenn nur [mm] $(z_n)_n$ [/mm] erfüllt [mm] $z_n \to (0,0)\,,$ [/mm] oder anders gesagt: Wenn sowohl [mm] $x_n \to [/mm] 0$ als auch [mm] $y_n \to 0\,.$
[/mm]
Dazu betrachte [mm] $|f(z_n)|$ [/mm] (beachte: eine Folge [mm] $(r_n)_n$ [/mm] reeller oder komplexer Zahlen erfüllt [mm] $r_n \to [/mm] 0$ genau dann, wenn [mm] $|r_n|\to [/mm] 0$):
Falls [mm] $z_n=(0,0)\,,$ [/mm] oder [mm] $z_n$ [/mm] von der Form [mm] $z_n=(0,y_n)$ [/mm] oder von der Form [mm] $z_n=(x_n,0)$ [/mm] ist, so ist [mm] $f(z_n)=0\,.$ [/mm] O.E. betrachten wir also nur [mm] $z_n=(x_n,y_n)$ [/mm] mit [mm] $x_n \not=0$ [/mm] und [mm] $y_n \not=0\,,$ [/mm] und es gelte [mm] $z_n \to (0,0)\,:$
[/mm]
Dann haben wir
[mm] $$|f(z_n)|=\frac{x_ny_n^2}{x_n^2+y_n^4}\,.$$
[/mm]
Betrachte nun mal speziell [mm] $z_n=(x_n,y_n)=(1/n^2,\;1/n)\,.$ [/mm] Dann siehst Du, dass [mm] $f\,$ [/mm] unstetig an [mm] $(0,0)\,$ [/mm] sein muss (andernfalls müßte [mm] $f(1/n^2,\;1/n) \to [/mm] 0$ gelten).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Fr 03.02.2012 | | Autor: | sissenge |
Wie komme ich aber drauf, dass ih x und y genau mit [mm] 1/n^2 [/mm] und 1/n ersetzten soll....
und vorallem welche Kritierien für Stetigkeit gibt es noch aus dieses Folgekriterium??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Fr 03.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie komme ich aber drauf, dass ih x und y genau mit [mm]1/n^2[/mm]
> und 1/n ersetzten soll....
ehrlich gesagt: Erfahrung, Übung und ausprobieren. Du kannst auch was anderes nehmen: [mm] $x_n=2/n^4$ [/mm] und [mm] $y_n=5/n^2$ [/mm] würden's auch tun... Ich hab' hier halt mal ein wenig "auf Exponenten geguckt".
> und vorallem welche Kritierien für Stetigkeit gibt es noch
> aus dieses Folgekriterium??
Einiges: Einmal per [mm] $\epsilon-\delta-x_0$ [/mm] Kriterium (an [mm] $x_0$ [/mm] gilt: für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta=\delta_{x_0,\epsilon} [/mm] > 0$ so, dass ...), dann mit "das Urbild einer jeden offenen [mm] $f(x_0)$ [/mm] enthaltenen Menge des Zielbereichs ist eine offene Menge im Definitionsbereich (die [mm] $x_0$ [/mm] enthält)" - dann gibt's die "de Morgansche passende analoge Aussage" auch mit "Urbilder abgeschlossener Mengen", dann gibt's das ganze noch mit "Umgebungsbegriffen" etc. pp.
Speziell für auf [mm] $\IR$ [/mm] definierte Funktionen (bzw. "passender Teilmengen von [mm] $\IR$") [/mm] kann man auch noch Stetigkeit dann mit "Links- und Rechtsstetigkeit, und Übereinstimmung der Grenzwerte mit dem Funktionswert der betrachteten Stelle" charakterisieren.
Solange Du Dich in metrischen Räumen bewegst, würde ich aber vorschlagen, mit der Folgenstetigkeitsdefinition zu arbeiten! Das ist meiner Ansicht nach auch die "anschaulichste".
Gruß,
Marcel
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