Stetigkeit und Diff.barkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR^2 [/mm] mit [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3 - y^3}{x^2 + y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}.
[/mm]
1) Berechnen Sie [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(0,0) [/mm] und [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(0,0) [/mm]
2) Zeigen Sie, dass f an der Stelle (0,0) nicht differenzierbar ist. |
Hi, habe zu den Lösungen dieser Aufgabe mal paar Fragen, vielleicht kann die ja jemand beantworten.
Lösung:
1)
Mit der Def. der part. Abl. haben wir:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(0,0) =\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0) - f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h^3}{hh^2} [/mm] = 1
und
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(0,0) =\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0,h) - f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{- h^3}{hh^2} [/mm] = - 1
So, hier ist meine Frage, ich versteh nicht ganz, wie der erste Bruch zustande kommt, also [mm] \bruch{f(h,0) - f(0,0)}{h}.
[/mm]
Ich habe mir die Def. vom Diff.quotienten nochmal angeschaut, die lautet:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f( \varepsilon + h*e_k) - f(\varepsilon)}{h}
[/mm]
Also in unserem Bsp. ist der der Punkt [mm] \varepsilon=(0,0). [/mm] ich versteh nur nicht, wie einmal f(h,0) und einmal f(0,h) zustande kommen, denn in der Def. kommt doch niergends ein Komma vor, also bei f( [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] h*e_k) [/mm] , deswegen weiß ich nicht, warum du (h,0) und (0,h) steht. das heißt, da wird, wenn man nach x abl., x=0 gesetzt und bei y genauso. vielleicht kann das ja mal wer erklären.
2)
Sei [mm] h=(h_1,h_2) \in \IR^2. [/mm] Wir betrachten
l(h)= [mm] \bruch {f(h_1,h_2) - f(0,0) - (1 - 1) \vektor{h_1 \\ h_2}}{|h|} [/mm] und werden zeigen, dass der Grenzwert dieses Ausdrucks für h [mm] \to [/mm] 0 nicht existiert. Damit ist f an der Stelle (0,0) nicht diff.bar.
Es gilt:
l(h)= [mm] \bruch{\bruch{h_1^3 - h_2^3}{h_1^2 + h_2^2} - h_1 + h_2}{\wurzel{h_1^2 + h_2^2}} [/mm] = [mm] \bruch{h_1^3 - h_2^3 - h_1^3 - h_1h_2^2 - h_1h_2 * h_2^3}{\wurzel{h_1^2 + h_2^2} (h_1^2 + h_2^2)}=\bruch{h_1h_2(h_2 - h_1)}{\wurzel{h_1^2 + h_2^2} (h_1^2 + h_2^2)}
[/mm]
Wir betrachten nur die Nullfolge [mm] (h^n)=((1/n,1/n)). [/mm] dann ist [mm] l(h^n)=0. [/mm] Sei [mm] (k^n)=((1/n,2/n)) [/mm] eine weitere Nullfolge. Dann ist [mm] l(k^n)\not=0. [/mm] Folglich existiert [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] nicht.
So, dann das wichtigste, meine Fragen  :
1. Wie kommt man auf l(h)= [mm] \bruch {f(h_1,h_2) - f(0,0) - (1 - 1) \vektor{h_1 \\ h_2}}{|h|} [/mm] und was bedeutet dieser Ausdruck überhaupt?
2. und dann habe ich auch nicht ganz verstanden, wie die von dem Schritt dann auf l(h)= [mm] \bruch{\bruch{h_1^3 - h_2^3}{h_1^2 + h_2^2} - h_1 + h_2}{\wurzel{h_1^2 + h_2^2}} [/mm] gekommen sind. der Nenner ist klar, nur der Zähler nicht so.
3. woher weiß man, dass man sich Nullfolgen nehmen muss. Liegt das dran, weil h auch gegen 0 gehen soll?
Für ausführliche Erlärungen dieser Aufgabe wäre ich sehr dankbar.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:06 Mi 21.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Deine Fragen zeigen, dass Du offensichtlich weder die Def. der "partiellen Ableitung" noch die Def. der "(totalen) Ableitung kennst.
Diese Def. habt ihr mit Sicherheit in der Vorlesung gehabt.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Mi 21.05.2008 | | Autor: | jaruleking |
Hi, das ist so nicht ganz richtig. Kennen tu ich die schon, nur damit umgehen kann ich noch nicht so, das sieht man ja auch in Bezug auf diese Aufgabe. Deswegen habe ich ja hier auch um Hilfe gefragz.
Kann ja mal unsere Def. hier angeben:
Partielle Abl.
Sei U [mm] \subseteq \IR^n [/mm] offen, f: U [mm] \to \IR
[/mm]
Die partielle Ableitung der Fkt. f nach der Veränderlichen [mm] x_k [/mm] an der Stelle [mm] x^0 [/mm] =( [mm] x_1^0, [/mm] ... , [mm] x_n^0) \in [/mm] U (falls exi.) ist die Ableitung der Fkt. [mm] g(t)=f(x_1^0, [/mm] ... , [mm] x_{k-1}^0,t,x_{k+1}^0, [/mm] ... , [mm] x_n^0) [/mm] an der Stelle [mm] x_k^0. [/mm] Man schreibt [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_k}(x^0) [/mm] oder auch [mm] f_x_k(x^0).
[/mm]
Totale Abl.
Sei U [mm] \subseteq \IR^n [/mm] offen, f: U [mm] \to \IR^m. [/mm] In Komponenten schreiben wir dann auch [mm] f=(f_1,...,f_n)^t, [/mm] wobei [mm] f_j: [/mm] U [mm] \to \IR [/mm] für j=1,..,m
f heißt an der Stelle [mm] x^0 [/mm] diff.bar, falls es eine Matrix A [mm] \in M(m,n,\IR) [/mm] gibt, so dass
[mm] f(x^0 [/mm] + h) = [mm] f(x^0) [/mm] + Ah + p(h) für alle h [mm] \in \IR^n [/mm] mit [mm] x^0 [/mm] + h [mm] \in [/mm] U wobei [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{p(h)}{|h|}=0
[/mm]
So, aber wie gesagt, komme damit irgendwie noch nicht zurecht.
Danke für Hilfe.
Gruß
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Hallo Steve,
> Sei f: [mm]\IR \to \IR^2[/mm]
ääh, [mm] $f:\IR^2\to\IR$ [/mm] 
> mit [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3 - y^3}{x^2 + y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}.[/mm]
>
> 1) Berechnen Sie [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)[/mm] und
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)[/mm]
>
> 2) Zeigen Sie, dass f an der Stelle (0,0) nicht
> differenzierbar ist.
> Hi, habe zu den Lösungen dieser Aufgabe mal paar Fragen,
> vielleicht kann die ja jemand beantworten.
>
> Lösung:
> 1)
> Mit der Def. der part. Abl. haben wir:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0) =\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0) - f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h^3}{hh^2}[/mm]
> = 1
>
> und
>
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0) =\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0,h) - f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{- h^3}{hh^2}[/mm]
> = - 1
>
>
> So, hier ist meine Frage, ich versteh nicht ganz, wie der
> erste Bruch zustande kommt, also [mm]\bruch{f(h,0) - f(0,0)}{h}.[/mm]
>
> Ich habe mir die Def. vom Diff.quotienten nochmal
> angeschaut, die lautet:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f( \varepsilon + h*e_k) - f(\varepsilon)}{h}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Im ersten Fall leitest du partiell nach der 1.Komponente, also nach x ab, das ist mit der Def.
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(\varepsilon)=\frac{\partial f}{\partial x}((0,0))=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(\varepsilon+h\cdot{}e_1)-f(\varepsilon)}{h}$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f((0,0)+h\cdot{}(1,0))-f((0,0))}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f((0,0)+(h,0))-f((0,0))}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f((h,0))-f((0,0))}{h}$
[/mm]
Analog für die partielle Ableitung nach der 2.Komponente, also nach y
>
> Also in unserem Bsp. ist der der Punkt [mm]\varepsilon=(0,0).[/mm]
> ich versteh nur nicht, wie einmal f(h,0) und einmal f(0,h)
> zustande kommen, denn in der Def. kommt doch niergends ein
> Komma vor, also bei f( [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]h*e_k)[/mm] , deswegen
> weiß ich nicht, warum du (h,0) und (0,h) steht. das heißt,
> da wird, wenn man nach x abl., x=0 gesetzt und bei y
> genauso. vielleicht kann das ja mal wer erklären.
s.o.
>
> 2)
>
> Sei [mm]h=(h_1,h_2) \in \IR^2.[/mm] Wir betrachten
>
> l(h)= [mm]\bruch {f(h_1,h_2) - f(0,0) - (1\red{,} - 1) \vektor{h_1 \\ h_2}}{|h|}[/mm]
Hier muss ein Komma stehen.
$(1,-1)$ ist der Gradient an der Stelle [mm] $\varepsilon=(0,0) \qquad \nabla [/mm] f((0,0))$
Den hattest du ganz zu Anfang ausgerechnet...
> und werden zeigen, dass der Grenzwert dieses Ausdrucks für
> h [mm]\to[/mm] 0 nicht existiert. Damit ist f an der Stelle (0,0)
> nicht diff.bar.
>
> Es gilt:
>
> l(h)= [mm]\bruch{\bruch{h_1^3 - h_2^3}{h_1^2 + h_2^2} - h_1 + h_2}{\wurzel{h_1^2 + h_2^2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{h_1^3 - h_2^3 - h_1^3 - h_1h_2^2 - h_1h_2 * h_2^3}{\wurzel{h_1^2 + h_2^2} (h_1^2 + h_2^2)}=\bruch{h_1h_2(h_2 - h_1)}{\wurzel{h_1^2 + h_2^2} (h_1^2 + h_2^2)}[/mm]
>
> Wir betrachten nur die Nullfolge [mm](h^n)=((1/n,1/n)).[/mm] dann
> ist [mm]l(h^n)=0.[/mm] Sei [mm](k^n)=((1/n,2/n))[/mm] eine weitere Nullfolge.
> Dann ist [mm]l(k^n)\not=0.[/mm] Folglich existiert
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] nicht.
>
>
> So, dann das wichtigste, meine Fragen :
>
> 1. Wie kommt man auf l(h)= [mm]\bruch {f(h_1,h_2) - f(0,0) - (1\red{,} - 1) \vektor{h_1 \\ h_2}}{|h|}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hier fehlt wieder das Komma, da steht ein Vektor!
> und was bedeutet dieser Ausdruck überhaupt?
Das ist die Definition der totalen Ableitung in $\varepsilon=(0,0)$
Die totale Ableitung ist der $\lim\limits_{\vec{h}\to\vec{0}$ davon bzw. $\lim\limits_{(h_1,h_2)\to (0,0)}$ davon
> 2. und dann habe ich auch nicht ganz verstanden, wie die
> von dem Schritt dann auf l(h)= [mm]\bruch{\bruch{h_1^3 - h_2^3}{h_1^2 + h_2^2} - h_1 + h_2}{\wurzel{h_1^2 + h_2^2}}[/mm]
> gekommen sind. der Nenner ist klar, nur der Zähler nicht
> so.
[mm] $(h_1,h_2)$ [/mm] in die Abbildungsvorschrift eingesetzt und ausgerechnet, der letzte Term ist - wenn du so willst - Multiplikation einer [mm] $1\times [/mm] 2$ Matrix mit einer [mm] $2\times [/mm] 1$ Matrix
Das kannst du alles zu Fuß mal auf nem Blatt nachrechnen, das ist (mir) hier und jetzt zuviel Schreibarbeit
> 3. woher weiß man, dass man sich Nullfolgen nehmen muss.
> Liegt das dran, weil h auch gegen 0 gehen soll?
Naja, wie beim Folgenkriterium, für jede Nullfolge [mm] $(h_1,h_2)$ [/mm] muss derselbe GW rauskommen, findest du 2 Nullfolgen [mm] $(h_1,h_2)$ [/mm] und [mm] $(\tilde{h}_1,\tilde{h}_2)$, [/mm] die dir verschiedene GWe liefern wie in der Aufgabe, so ex. der Limes dieses Riesenausdrucks für die totale Ableitung nicht
> Für ausführliche Erlärungen dieser Aufgabe wäre ich sehr
> dankbar.
>
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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Hi, vielen dank, jetzt ist erstmal so einiges klarer geworden.
Ich müsste aber kurz nochmal was zu der def. der totalen Abl. fragen. Also unsere Def. lautet ja, wie ich es auch schon vorher geschrieben habe:
Totale Abl.
Sei U $ [mm] \subseteq \IR^n [/mm] $ offen, f: U $ [mm] \to \IR^m. [/mm] $ In Komponenten
schreiben wir dann auch $ [mm] f=(f_1,...,f_n)^t, [/mm] $ wobei $ [mm] f_j: [/mm] $ U $ [mm] \to \IR [/mm] $ für j=1,..,m
f heißt an der Stelle $ [mm] x^0 [/mm] $ diff.bar, falls es eine Matrix A $ [mm] \in M(m,n,\IR) [/mm] $ gibt, so dass
$ [mm] f(x^0 [/mm] $ + h) = $ [mm] f(x^0) [/mm] $ + Ah + p(h) für alle h $ [mm] \in \IR^n [/mm] $ mit $ [mm] x^0 [/mm] $ + h $ [mm] \in [/mm] $ U wobei $ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{p(h)}{|h|}=0 [/mm] $
So wie kommt man von dieser Def. auf:
l(h)= [mm] \bruch {f(h_1,h_2) - f(0,0) - (1, - 1) \vektor{h_1 \\ h_2}}{|h|} [/mm]
du hast ja gesagt, das ist einfach die def. der totalen Abl., das habe ich aber irgendwie noch nicht verstanden.
Danke und Gruß.
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Hallo nochmal,
> Hi, vielen dank, jetzt ist erstmal so einiges klarer
> geworden.
>
> Ich müsste aber kurz nochmal was zu der def. der totalen
> Abl. fragen. Also unsere Def. lautet ja, wie ich es auch
> schon vorher geschrieben habe:
>
> Totale Abl.
>
> Sei U [mm]\subseteq \IR^n[/mm] offen, f: U [mm]\to \IR^m.[/mm] In Komponenten
> schreiben wir dann auch [mm]f=(f_1,...,f_n)^t,[/mm] wobei [mm]f_j:[/mm] U [mm]\to \IR[/mm]
> für j=1,..,m
>
> f heißt an der Stelle [mm]x^0[/mm] diff.bar, falls es eine Matrix A
> [mm]\in M(m,n,\IR)[/mm] gibt, so dass
>
> [mm]f(x^0[/mm] + h) = [mm]f(x^0)[/mm] + Ah + p(h) für alle h [mm]\in \IR^n[/mm] mit
> [mm]x^0[/mm] + h [mm]\in[/mm] U wobei [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{p(h)}{|h|}=0[/mm]
>
>
> So wie kommt man von dieser Def. auf:
>
> l(h)= [mm]\bruch {f(h_1,h_2) - f(0,0) - (1, - 1) \vektor{h_1 \\ h_2}}{|h|}[/mm]
>
> du hast ja gesagt, das ist einfach die def. der totalen
> Abl., das habe ich aber irgendwie noch nicht verstanden.
stelle deinen Ausdruck mal nach $p(h)$ um
Es gilt (ohne die ganzen Voraussetzungen zu wiederholen)
(1) $f$ heißt (total) diffbar in x, falls ex. lineare Abbildung (bzw. deren Abbildungsmatrix) A mit [mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{||f(x+h)-(f(x)+A\cdot{}h)||}{||h||}=0$ [/mm] und
(2) Ist $f$ (total) diffbar in x, so ist [mm] $f(x+h)=f(x)+A\cdot{}h+\tau(h)$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{\tau(h)}{||h||}=0$
[/mm]
Das ist wie im 1-dim. die lineare Approximation der "Ableitung"
Bedenke, dass du hier ne Abbildung von [mm] $\IR^2\to\IR$ [/mm] hast, die Matrix A in deiner Definition ist also eine [mm] $1\times [/mm] 2$ Matrix.
Wenn eine Funktion in einem Punkt [mm] $\vec{x_0}$ [/mm] total diffbar ist, so ist diese Matrix A die Jacobimatrix, und das ist in unserem speziellen Fall hier der Gradient
> Danke und Gruß.
Jo, zurück
schachuzipus
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Hallo nochmal, Steve,
vllt. interessiert dich dieser ![[]](/images/popup.gif) Link zu einem - wie ich finde - ganz guten AnaII-Skript ?
Unter "Woche 9" wirst du fündig
LG
schachuzipus
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