Stetigkeit und Diff'barkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche die folgende Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit:
b) g: [mm] \IR \to \IR [/mm] , g(x) = [mm] \begin{cases} x^2-1, & \mbox{für } |x| \le 1 \\ ln(|x|), & \mbox{für } |x| > 1 \end{cases} [/mm] |
Stetigkeit:
[mm] \limes_{x\rightarrow\1^+} [/mm] g(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^+} x^2-1 [/mm] = 1-1 = 0
[mm] \limes_{x\rightarrow\1^-} [/mm] g(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^+} [/mm] ln(|x|) = 1-1 = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] g stetig in x=1
Diff'barkeit:
[mm] \limes_{x\rightarrow\1^+} \bruch{f(x)-f(1)}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^+} \bruch{x^2-1-1+1}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^+} \bruch{(x-1)(x+1)}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^+} [/mm] x+1 = 2
[mm] \limes_{x\rightarrow\1^-} \bruch{f(x)-f(1)}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^-} \bruch{ln(|x|)-ln(|1|)}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^-} \bruch{ln(|1|)}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^-} \bruch{1/x}{1} [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist nicht diff'bar in x=1
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Hallo nochmal,
ich Depp habe übersehen, dass in der Funktionsdefinition ja [mm] $|x|\le [/mm] 1$ bzw. $|x|>1$ steht.
Da musst du neben der Stelle $x=1$ auch noch die beidseitigen GWe an der Stelle $x=-1$ untersuchen ...
Gruß
schachuzipus
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