Stetigkeit und Diffbarkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 So 24.07.2011 | | Autor: | Stsch |
Hallo, ich übe gerade Ana 1 und habe Probleme mit dem nachweis der stetigkeit und der diffbarkeit. Also ich schreib mal auf was ich so verstanden habe.
Also wenn die frage lautet wo ist f diffbar? Muss ich doch schauen ob der rechtseitige und linksseitige grenzwert gleich sind oder?
Zeige ich dass mit der h-Methode??
Wie zeige ich, dass f an einer bestimmten stelle diffbar ist?
Stetigkeit versteh ich irgendwie garnicht, also die ganzen "sorten von stetigkeit" und wie man diese zeigt.
Wäre nett, wenn jemand mir die anhand von Beispielen zeigt oder wenn man zusammen mal eine Aufgabe dazu hier lösen könnte.
google schon hilft aber nicht so sehr.
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 So 24.07.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo, ich übe gerade Ana 1 und habe Probleme mit dem
> nachweis der stetigkeit und der diffbarkeit. Also ich
> schreib mal auf was ich so verstanden habe.
> Also wenn die frage lautet wo ist f diffbar? Muss ich doch
> schauen ob der rechtseitige und linksseitige grenzwert
> gleich sind oder?
nein - Gegenbeispiel $f(x)=|x|$. Im Punkt x=0 sind links- und rechtsseitiger GW gleich, diffbar ist die Fkt. dort aber nicht.
Wenn gefragt ist wo die Fkt. diffbar ist, ist die diffbarkeit in den meisten Pkten der Fkt in der Regel klar. Zu zeigen ist sie dann nur in ausgewählten 'Knackpunkten'.
Allgemein kann man nur schlecht Tipps geben, wie man an eine solche Aufgabe rangeht. Das hängt stark von der Aufgabenstellung ab. Nenn doch mal eine und wir können versuchen sie zusammen zu lösen.
Wenn allerdings rechts- und linksseitiger Differentialquotient übereinstimmen - dann ist die Fkt. diffbar.
> Zeige ich dass mit der h-Methode??
Das ist Dir überlassen.
>
> Wie zeige ich, dass f an einer bestimmten stelle diffbar
> ist?
siehe oben.
>
> Stetigkeit versteh ich irgendwie garnicht, also die ganzen
> "sorten von stetigkeit" und wie man diese zeigt.
Du kennst doch sicher die 'Schülerdefinition' der Stetigkeit. Wenn man eine Fkt. zeichnen kann ohne den Stift abzusetzen ist sie stetig. Das ist eine recht gute Veranschaulichung.
Um die Stetigkeit zu beweisen muss man sich der mathematischen Definition bedienen.
Was meinst Du mit "sorten von stetigkeit"? Ich kenne neben der 'normalen' Stetigkeit nur noch die Lipschitz-Stetigkeit. Aber vielleicht hab ich hier auch eine Bildungslücke.
> Wäre nett, wenn jemand mir die anhand von Beispielen
> zeigt oder wenn man zusammen mal eine Aufgabe dazu hier
> lösen könnte.
Beispiele wirst Du schon selbst suchen müssen.
> google schon hilft aber nicht so sehr.
> Gruß
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 So 24.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Du meinst wahrscheinlich auch noch die gleichmäßige Stetigkeit usw..
Am Besten du führst ein komplettes triviales Beispiel vor und wir sagen dir wo deine Fehler liegen.
Nehmen wir doch das erwähnte Beispiel f(x)=|x|.
i) Zeige, dass die Funktion in ihrem Definitiosbereich stetig ist.
ii) Überprüfe die Funktion auf gleichmäßige Stetigkeit.
iii) Überprüfe die Funktion auf Differenzierbarkeit auf ihrem Definitionsbereich
Das Problem hierbei ist, wir wissen nicht in wie fern du was benutzten darfst / sollst.
z.B. wissen wir nicht, ob du schon weißt, dass aus gleichmäßiger Stetigkeit, Stetigkeit folgt usw.. Also, schrieb am Besten immer genau auf, was du machen willst und wie und dann tuh es. Dann wissen wir, wo deine Fehler liegen.
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 So 24.07.2011 | | Autor: | notinX |
> Du meinst wahrscheinlich auch noch die gleichmäßige
> Stetigkeit usw..
Ups, die habe ich glatt vergessen. 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 So 24.07.2011 | | Autor: | Stsch |
Hallo, danke euch beiden für die Antwort.
Können wir die Aufgabe einzeln durchgehen.
Also erst die Stetigkeit nachweisen:
Hier muss ich das doch mit [mm] \delta \varepsilon [/mm] machen. Die Formel lautet ja [mm] f(x)-f(x_{0}) [/mm] Wenn ich jetzt [mm] \vmat{ x }einsetzt [/mm] bekomme ich doch wieder [mm] f(x)-f(x_{0}) [/mm] da komme ich nicht weiter.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 So 24.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Eine Funktion [mm] f:D\supset\IC\to \IC [/mm] heißt an der Stelle [mm] x_0\in\ [/mm] D stetig, falls [mm] \forall \epsilon>0\ \exists \delta>0:|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\ \forall [/mm] x mit [mm] |x-x_0|<\delta
[/mm]
Also, was passiert nun bei dir genau, wenn du die Funktion einsetzt.
Rechne vor und zeig uns deine Schwierigkeiten.
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 So 24.07.2011 | | Autor: | Stsch |
Ja dann steht da doch wie ich grad geschrieben hab
[mm] \vmat{ x & -x_{0}} [/mm] und das ist nach def. < [mm] \delta
[/mm]
Jedoch weiß ich jetzt nicht weiter, dass meinte ich eigentlich gerade.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 So 24.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Dann wärst du direkt fertig ;)
Zunächst steht da noch was anderes und zwar :
[mm] ||x|-|x_0||< [/mm] ?
Mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 So 24.07.2011 | | Autor: | Stsch |
Soll ich das jetzt abschätzen?? Wenn ja kann ich das garnicht. Ich würde schreiben < x
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 So 24.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Guck dir nocheinmal die Definition an. Deine "Vorraussetzung" ist [mm] |x-x_0|<\delta.
[/mm]
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 So 24.07.2011 | | Autor: | Stsch |
Also [mm] \vmat{ x & x_{0}}<\delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] , also [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
oder??
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Also [mm]\vmat{ x & x_{0}}<\delta[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] , also [mm]\delta[/mm] =
> [mm]\varepsilon[/mm]
> oder??
Verstehe ich nicht? Soll das zu dem Bsp [mm]f(x)=\frac{1}{x}[/mm] sein?
Da ist die obere Antwort ziemlich vermurkst.
Das [mm]\delta[/mm] darf zwar von [mm]x_0[/mm] (und von [mm] $\varepsilon$) [/mm] abhängen, aber doch nicht von dem (variablen) [mm]x[/mm] ...
Schaue dir mal diesen thread an:
https://vorhilfe.de/forum/1_x_stetig_auf_R_0_zeigen/t664225
Das hilft sicher weiter ...
Edit
Aah ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]") es geht um das Bsp. $f(x)=|x|$!
Dann ist deine Wahl von [mm] $\delta$ [/mm] richtig: [mm] $\delta=\varepsilon$
[/mm]
Edit Ende
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Mo 25.07.2011 | | Autor: | Stsch |
Danke dir für die Antwort.
Mit Stetigkeit komme ich jetzt glaube ich soweit klar. Muss noch lernen richtig abzuschätzen.
Bei der Diffbarkeit habe ich noch Fragen.
Also wenn ich zeigen will, dass eine Funktion diffbar ist, muss ich doch den Diff.quotient benutzen oder muss ich schauen ob der rechtsseitige und linksseitige limes übereinstimmen?? Oder geht beides immer??
Muss ich um Diffbarkeit zu zeigen auch die stetigkeit zeigen? Eigentlich nicht oder weil doch jede diffbare fkt. sowieso stetig ist oder??
Ach und die Aufgabe mit f(x)= [mm] \vmat{ x } [/mm] ist doch auch gleichmäßig stetig weil sie nicht von [mm] x_{0} [/mm] abhängt oder?
Das wars glaube ich fürs erste.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Mo 25.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke dir für die Antwort.
> Mit Stetigkeit komme ich jetzt glaube ich soweit klar.
> Muss noch lernen richtig abzuschätzen.
> Bei der Diffbarkeit habe ich noch Fragen.
> Also wenn ich zeigen will, dass eine Funktion diffbar ist,
> muss ich doch den Diff.quotient benutzen oder muss ich
> schauen ob der rechtsseitige und linksseitige limes
> übereinstimmen?? Oder geht beides immer??
Ist [mm] x_0 [/mm] ein Punkt aus dem Def. - Bereich von f, so ist f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, wenn der Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
existiert. Manchmal ist es hierfür nötig, zu zeigen, dass die beiden Grenzwerte
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0+0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow x_0-0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
existieren und gleich sind.
>
> Muss ich um Diffbarkeit zu zeigen auch die stetigkeit
> zeigen? Eigentlich nicht oder weil doch jede diffbare fkt.
> sowieso stetig ist oder??
Stimmt.
>
> Ach und die Aufgabe mit f(x)= [mm]\vmat{ x }[/mm] ist doch auch
> gleichmäßig stetig weil sie nicht von [mm]x_{0}[/mm] abhängt
> oder?
Weil was nicht von [mm]x_{0}[/mm] abhängt ???
Ja, f(x)= [mm]\vmat{ x }[/mm] ist auf [mm] \IR [/mm] glm. stetig.
FRED
>
> Das wars glaube ich fürs erste.
>
> Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mo 25.07.2011 | | Autor: | Stsch |
Hallo, dankeschön.
> Ist [mm]x_0[/mm] ein Punkt aus dem Def. - Bereich von f, so ist f in
> [mm]x_0[/mm] differenzierbar, wenn der Grenzwert
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
>
> existiert. Manchmal ist es hierfür nötig, zu zeigen, dass
> die beiden Grenzwerte
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0+0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0-0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
>
> existieren und gleich sind.
Gibt es dafür einen Satz oder so, der mir sagt, wann das der Fall ist, also wann man die Existenz und Gleichheit beider Grenzwerte zeigt. Oder ein Erkennungszeichen in der Aufgabenstellung?
> Weil was nicht von [mm]x_{0}[/mm] abhängt ???
Upps, habe ich vergessen dazu zu schreiben. Ich meinte, weil [mm] \delta [/mm] nicht von [mm] x_{0} [/mm] abhängt.
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Stsch,
> Hallo, dankeschön.
>
> > Ist [mm]x_0[/mm] ein Punkt aus dem Def. - Bereich von f, so ist f in
> > [mm]x_0[/mm] differenzierbar, wenn der Grenzwert
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> >
> > existiert. Manchmal ist es hierfür nötig, zu zeigen, dass
> > die beiden Grenzwerte
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow x_0+0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] und
> > [mm]\limes_{x\rightarrow x_0-0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> >
> > existieren und gleich sind.
>
> Gibt es dafür einen Satz oder so, der mir sagt, wann das
> der Fall ist, also wann man die Existenz und Gleichheit
> beider Grenzwerte zeigt.
Das hängt von der gegebenen Funktion ab (oder der Stelle [mm]x_0[/mm])
> Oder ein Erkennungszeichen in der
> Aufgabenstellung?
Naja, hier hast du ja eine stückweise definierte Funktion, wenn du sie mal betragsfrei schreibst.
[mm]f(x)=|x|=\begin{cases} x, & \mbox{fuer } x\ge 0 \\
-x, & \mbox{fuer } x<0 \end{cases}[/mm]
Hier ist die einzig interessante Stelle ja die "Nahtstelle" [mm]x_0=0[/mm], an der die Funktion "kippt"
Da untersucht man dann übleicherweise links- und rechtsseitigen Limes des DQ
>
> > Weil was nicht von [mm]x_{0}[/mm] abhängt ???
> Upps, habe ich vergessen dazu zu schreiben. Ich meinte,
> weil [mm]\delta[/mm] nicht von [mm]x_{0}[/mm] abhängt.
Jo!
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Guck dir nocheinmal die Definition an. Deine
> "Vorraussetzung" ist [mm]|x-x_0|<\delta.[/mm]
>
> Als schnelles einfaches Beispiel, damit du weißt was ich
> meine :
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm]|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x_0}|=|\bruch{x_0-x}{xx_0}|<\bruch{\delta}{|xx_0|}=\epsilon[/mm]
> für [mm]\delta:=\epsilon |xx_0|.[/mm]
Das ist keine so gute Idee!
[mm] $\delta$ [/mm] darf nicht von $x$ abhängen!
>
> Das ist ein ziemlich triviales Beispiel.
Dieses Bsp. ist alles andere als trivial ...
> Vllt erkennst du
> nun wie du das oben anwenden kannst.
>
> MfG
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
