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Ich nochmal Jungs! Könnt ihr mir sagen ob ich richtig liege?!
Es geht um folgende Funktion:
[mm] f(x,y)=\left\{\begin{matrix} x^2/y, & \mbox{wenn }\not= 0 \\ 0, & \mbox{wenn }= 0 \end{matrix}\right.
[/mm]
Erste Fragestellung ist ob f stetig in Null ist?!
Antwort müsste Nein sein, was sich über die Folge [mm] \vec x_n [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{1}{n} \\ \bruch{1}{n^3} \end{pmatrix} [/mm] mit [mm] \lim_{n \to \infty}f(\vec x_n) \not= f(\vec0) [/mm] zeigen lässt.
Zweite Frage war für welche [mm] v \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\} [/mm] die Richtungsableitung im Nullpunkt in Richtung [mm] v [/mm] existiert.
Mit der entsprechenden Grenzwertformel komme ich darauf, dass die Richtungsableitung für [mm] v = \begin{pmatrix} v_1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]immer [mm] 0 [/mm] ist. Ansonsten bekam ich [mm] \bruch{v_1^2}{v_2} [/mm] für [mm] v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} [/mm] raus. Kann das jemand mal nachrechnen bzw. bestätigen oder halt widerlegen???
Gruß Ralf
P.S. ICh hoffe ich habe hier nicht den totalen Bock geschossen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber hubedidup!
> Ich nochmal Jungs!
Wir haben auch sehr kompetente Mädels hier. 
> Könnt ihr mir sagen ob ich richtig
> liege?!
> Es geht um folgende Funktion:
> [mm]f(x,y)=\left\{\begin{matrix} x^2/y, & \mbox{wenn }\not= 0 \\ 0, & \mbox{wenn }= 0 \end{matrix}\right.
[/mm]
Hier fehlt etwas. Muss es vielleicht so lauten:
[mm]f(x,y)=\left\{\begin{matrix} x^2/y, & \mbox{wenn}& y \not= 0 \\ 0, & \mbox{wenn}& y = 0 \end{matrix}\right.
[/mm]
> Erste Fragestellung ist ob f stetig in Null ist?!
> Antwort müsste Nein sein, was sich über die Folge [mm]\vec x_n[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} \bruch{1}{n} \\ \bruch{1}{n^3} \end{pmatrix}[/mm]
> mit [mm]\lim_{n \to \infty}f(\vec x_n) \not= f(\vec0)[/mm] zeigen
> lässt.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Zweite Frage war für welche [mm]v \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\}[/mm]
> die Richtungsableitung im Nullpunkt in Richtung [mm]v[/mm]
> existiert.
> Mit der entsprechenden Grenzwertformel komme ich darauf,
> dass die Richtungsableitung für [mm]v = \begin{pmatrix} v_1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]immer
> [mm]0[/mm] ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ansonsten bekam ich [mm]\bruch{v_1^2}{v_2}[/mm] für [mm]v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> raus.
> Kann das jemand mal nachrechnen bzw. bestätigen oder
> halt widerlegen???
Es ist perfekt!! ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
Also eine sehr interessante Funktion: Sie ist unstetig, also auch nicht differenzierbar. Trotzdem existieren sämtliche Richtungsableitungen!!
Ein weiteres Beispiel für eine solche Funktion ist
$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{cccc} \frac{xy^2}{x^2 + y^4} & , & \mbox{falls} & x \ne 0,\\[5pt] 0 & , & \mbox{falls}& x=0. \end{array}$
Hast du Lust das auch mal nachzurechnen? (Das musst du hier nicht posten; nur, wenn du willst ).
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 So 03.10.2004 | | Autor: | hubedidup |
Also die von dir gegebene Funktion müsste für die Folge [mm] \vec x_n = \begin{pmatrix} \bruch{1}{n^2} \\ \bruch{1}{n} \end{pmatrix} [/mm] bei Grenzwertbetrachtung gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] laufen. Die Steigung beträgt 0 für [mm] v_1 [/mm] = 0 ansonsten [mm] \bruch{v_1 * v_2^2}{v_1^2} [/mm]. Soll ich den Rechenweg mal posten wenn ich meine Klausur hinter mir habe?!
Bei diesen Funktionen hat sich der Nullpunkt richtig gut vor Angriffen geschützt: Wenn man gerade auf ihn zuläuft sieht er einen und man kommt an ihn ran, aber sobald man versucht sich auf nem Umweg(Parabel,etc...) an ihn heranzuschleichen läuft man automatisch ins Leere bzw. dran vorbei. Gemeiner Hund!!!!
Gruß Ralf
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Sehr schön, sehr schön.
Ich möchte dich noch darauf hinweisen, dass man für Richtungsableitungen Vektoren der Länge 1 verwendet, d.h. [mm]v_1^2+v_2^2=1[/mm].
Deine Ergebnisse sind aber goldrichtig.
Diese Aufgabe ist übrigens eine Abwandlung des folgenden Problems.
Sei eine Funktion [mm]f[/mm] gegeben mit
[mm]f=\left\{
\begin{matrix}
1&\ \mathrm{falls}\ \ x^2-y=0,\ x\not=0 \\
0&\ \mathrm{sonst}
\end{matrix}\right.[/mm]
Dann ist f(0,0)=0 und alle Richtungsableitungen im Ursprung existieren und sind ebenfalls =0. Trotzdem ist f in (0,0) unstetig, da man entlang der Normalparabel den Funktionswert 1 erwartet.
So das war jetzt noch mein Senf.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 So 03.10.2004 | | Autor: | hubedidup |
Ist doch vollkommen egal wie lang [mm] \vec v [/mm] ist, da bei der Grenzwertbetrachtung eh mit dem entsprechenden Grenzwertparameter multipliziert wird. Des weiteren war bei der ersten Aufgabenstellung nach beliebigem [mm] \vec v [/mm] gefragt war(also egal welcher Länge).
Gruß Ralf
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