Stetigkeit und partielle Diffb < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f:R^2->R [/mm] definiert durch f(x,y) = [mm] \bruch{xy}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] für [mm] (x,y)\not=(0,0)
[/mm]
Ist f im Punkt stetig, partiell und total differenzierbar? |
Ich habe eine Lösung zu dieser Aufgabe, aber da versteh ich das alles vorne und hinten nicht.
Die arbeiten da mit Polarkoordinaten und stellen die Funktion als
f(x,y)= [mm] \bruch{r^2*cos\varphi*sin\varphi}{r} [/mm] = [mm] \bruch{r}{2}*sin(2\varphi)
[/mm]
naja, da hab ich jetzt mal drüber weggeschaut, weil ich überhaupt nicht weiß was das soll..Vielleicht kann es mir ja jemand erklären..
Wie kann ich denn jetzt da die Stetigkeit z.B zeigen?
Also mit dem [mm] \varepsilon,\delta [/mm] - kriterium würd ich es jetzt versuchen:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall x\in R^2:
[/mm]
|(x,y)-(0,0)| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x,y)-0|< [mm] \varepsilon
[/mm]
aber da komm ich jetzt irgendwie nicht weiter,,,,kann mir jemand helfen?
Um die partielle Differenzierbarkeit zu prüfen, kann ich einfach die partiellen Ableitungen bilden oder den Differenzenquotienten.
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} =\bruch{f(x+ h e_i) - f(x)}{h}
[/mm]
i=1, h [mm] e_i [/mm] = (1,0) [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow0}
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{(x+h)y}{\wurzel{(x+h)^2+y^2}}-\bruch{xy}{\wurzel{x^2+y^2}}}{h} [/mm] = [mm] \partial_x [/mm] f(x,y)
soweit erstmal richtig?
So , da es nun um den Punkt (0,0) geht ist es also nun:
[mm] \bruch{\bruch{(0+h)0}{\wurzel{(0+h)^2+0^2}}-\bruch{0*0}{\wurzel{0^2+0^2}}}{h} [/mm] =
[mm] \bruch{\bruch{0}{\wurzel{h^2}}-\bruch{0}{\wurzel{0}}}{h} [/mm] (mhm, da habe ich jetzt aber an einer stelle durch 0 geteilt..kann nicht sein..Egal , weiter^^^^: = 0
damit wäre es da nicht partiell diffbar, weil ich durch 0 hätte teilen müssen richtig??
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Hallo und guten Morgen,
> [mm]f:R^2->R[/mm] definiert durch f(x,y) =
> [mm]\bruch{xy}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm] für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm]
>
> Ist f im Punkt stetig, partiell und total differenzierbar?
> Ich habe eine Lösung zu dieser Aufgabe, aber da versteh
> ich das alles vorne und hinten nicht.
>
> Die arbeiten da mit Polarkoordinaten und stellen die
> Funktion als
> f(x,y)= [mm]\bruch{r^2*cos\varphi*sin\varphi}{r}[/mm] =
> [mm]\bruch{r}{2}*sin(2\varphi)[/mm]
>
> naja, da hab ich jetzt mal drüber weggeschaut, weil ich
> überhaupt nicht weiß was das soll..Vielleicht kann es mir
> ja jemand erklären..
>
>
> Wie kann ich denn jetzt da die Stetigkeit z.B zeigen?
>
nun, es ist zB [mm] f(x,y)=\frac{g(x,y)}{h(x,y)} [/mm] mit [mm] g(x,y)=x\cdot [/mm] y usw., dann reicht es, die Stetigkeit der Funktionen g und h nachzuweisen und
allgemein zu zeigen, dass für solche stetigen g und h auch [mm] f=\frac{g}{h} [/mm] stetig ist (auf [mm] D:=D(g)\cap D(h)\cap\{(x,y)|h(x,y)\neq 0\} [/mm] ).
Dann wird für diese Einzelschritte das Prüfen des [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriteriums auch einfacher.
> Also mit dem [mm]\varepsilon,\delta[/mm] - kriterium würd ich es
> jetzt versuchen:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] >0 [mm]\forall x\in R^2:[/mm]
>
> |(x,y)-(0,0)| < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |f(x,y)-0|<
> [mm]\varepsilon[/mm]
>
> aber da komm ich jetzt irgendwie nicht weiter,,,,kann mir
> jemand helfen?
>
> Um die partielle Differenzierbarkeit zu prüfen, kann ich
> einfach die partiellen Ableitungen bilden oder den
> Differenzenquotienten.
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} =\bruch{f(x+ h e_i) - f(x)}{h}[/mm]
>
> i=1, h [mm]e_i[/mm] = (1,0) [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\bruch{(x+h)y}{\wurzel{(x+h)^2+y^2}}-\bruch{xy}{\wurzel{x^2+y^2}}}{h}[/mm]
> = [mm]\partial_x[/mm] f(x,y)
>
Wie ist denn f(0,0) definiert ? Das muss separat definiert sein, und beim Bilden des Differenzenquotienten musst Du diesen Wert dann einsetzen !
Gruss,
Mathias
> soweit erstmal richtig?
> So , da es nun um den Punkt (0,0) geht ist es also nun:
> [mm]\bruch{\bruch{(0+h)0}{\wurzel{(0+h)^2+0^2}}-\bruch{0*0}{\wurzel{0^2+0^2}}}{h}[/mm]
> =
>
> [mm]\bruch{\bruch{0}{\wurzel{h^2}}-\bruch{0}{\wurzel{0}}}{h}[/mm]
> (mhm, da habe ich jetzt aber an einer stelle durch 0
> geteilt..kann nicht sein..Egal , weiter^^^^: = 0
> damit wäre es da nicht partiell diffbar, weil ich durch 0
> hätte teilen müssen richtig??
>
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[mm] \limes_{h\rightarrow0}
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{(x+h)y}{\wurzel{(x+h)^2+y^2}}-\bruch{xy}{\wurzel{x^2+y^2}}}{h} [/mm]
so da ja nun f(0,0):= 0
[mm] \limes_{h\rightarrow0}
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{(0+h)0}{\wurzel{(0+h)^2+0^2}}-\bruch{0\cdot{}0}{\wurzel{0^2+0^2}}}{h}
[/mm]
ist das denn dann erstma so richitg? dann würd ich aber ja durch null teilen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 07.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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