Stetigkeit untersuchen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Do 08.12.2011 | | Autor: | Sharc |
| Aufgabe 1 | | Weisen Sie nach, dass die Funktion f(x) = 1/x für jedes x nicht 0 stetig ist. |
| Aufgabe 2 | Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Stetigkeit
f: R [mm] \to [/mm] R
[mm] x\mapsto\begin{cases} x^{2},& \mbox{für } x< 0 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für} x+ 1\ge 0 \mbox{ } \end{cases} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die Aufgaben jetzt bearbeitet und hoffe jemand kann mal drübersehen.
Aufgabe 1
Es gibt ein [mm] \delta [/mm] > 0
|x - [mm] x_{0}| [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
Da x [mm] \not= [/mm] 0 trifft diese Aussage zu.
Jetzt prüfe ich den Zusammenhang:
[mm] \forall_{ \epsilon > 0} \exists_{\delta > 0} \forall_{|x-x_{0}| < \delta} [/mm] |f(x) [mm] -(x_{0})| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
| [mm] \frac{1}{x} [/mm] - [mm] \frac{1}{x_{0} } [/mm] | < [mm] \epsilon
[/mm]
Durch Erweiterung erhalte ich:
| [mm] \frac{x_{0}-x}{x-x_{0}} [/mm] | < [mm] \epsilon
[/mm]
Da sowohl Nenner und Zähler auf die Delta-Aussage zurückzuführen sind, trifft die Aussage zu.
Ich weiß nicht ob das so reicht...
Aufgabe 2
Hier gibt der Sachverhalt her, dass ich für [mm] x_{0}=0 [/mm] untersuchen soll.
Das möchte ich über konvergierende Folgen beweisen/widerlegen.
Zu nächst für [mm] x^{2}:
[/mm]
[mm] x_{n} [/mm] eine Folge die gegen [mm] x_{0} [/mm] konvergiert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] = 0
Dies übertrage ich dann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = [mm] (x_{0})^{2}
[/mm]
da ja [mm] x_{n} [/mm] gegen [mm] x_{0} [/mm] konvergiert und das Quadrat daraus nichts veränder erhalte ich [mm] f(x_{n}) [/mm] = [mm] f(x_{0})
[/mm]
Als nächstes untersuche ich x+1:
Die Voraussetzung der Folge wie oben:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n} \not= x_{n} [/mm] +1
Damit ist die Funktion f nicht stetig.
Da gibt es dann noch eine Aufgabe die werde ich erst mal machen und dann ggf. ergänzen, vlt. weiß ich aber vorher schon das bis jetzt alles passt, dann ist meine Vorgehensweise zmd. richtig.
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Hallo Sharc,
> Weisen Sie nach, dass die Funktion f(x) = 1/x für jedes x
> nicht 0 stetig ist.
>
> Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Stetigkeit
> f: R [mm]\to[/mm] R
> [mm]x\mapsto\begin{cases} x^{2},& \mbox{für } x< 0 \mbox{ } \\
1, & \mbox{für} x+ 1\ge 0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe die Aufgaben jetzt bearbeitet und hoffe jemand
> kann mal drübersehen.
>
> Aufgabe 1
> Es gibt ein [mm]\delta[/mm] > 0
> |x - [mm]x_{0}|[/mm] < [mm]\delta[/mm]
> Da x [mm]\not=[/mm] 0 trifft diese Aussage zu.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was meinst du damit?
>
> Jetzt prüfe ich den Zusammenhang:
> [mm]\forall_{ \epsilon > 0} \exists_{\delta > 0} \forall_{|x-x_{0}| < \delta}[/mm] |f(x) [mm]-(x_{0})|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
Aha, schon besser!
>
> | [mm]\frac{1}{x}[/mm] - [mm]\frac{1}{x_{0} }[/mm] | < [mm]\epsilon[/mm]
>
> Durch Erweiterung erhalte ich:
> | [mm]\frac{x_{0}-x}{x-x_{0}}[/mm] | < [mm]\epsilon[/mm]
Ich nicht, ich komme auf [mm]\left|\frac{x_0-x}{x\cdot{}x_0}\right|=\frac{1}{|xx_0|}\cdot{}|x-x_0|[/mm] ...
Geht's damit weiter?
> Da sowohl Nenner und Zähler auf die Delta-Aussage
> zurückzuführen sind,
Hmm, im Zähler steht ja [mm]|x-x_0|[/mm], da sehe ich das ein, aber was genau folgt für den Nenner bzw. wie kannst du ihn weiter abschätzen?
> trifft die Aussage zu.
>
> Ich weiß nicht ob das so reicht...
>
>
> Aufgabe 2
Da ist doch die Definition sinnlos!
Du weist zB. [mm]x=-1/2[/mm] zwei Werte zu: [mm]1/4[/mm] aus dem oberen Teil und 1 aus dem unteren Teil, das kann nicht sein, das ist so keine Funktion.
Überprüfe dein Geschreibsel!
Zum Vorgehen: Ausserhalb der "Nahtstelle" sind beide Funktionszweige stetig. Allein an der Nahtstelle kann es "Stress" geben.
Untersuche daher den links- und rechtsseitigen Limes [mm]\lim\limits_{x\uparrow \downarrow \ \text{Nahtstelle}}f(x)[/mm]
Wenn beide übereinstimmen, hast du gewonnen, wenn nicht, hat die Funktion verloren 
> Hier gibt der Sachverhalt her, dass ich für [mm]x_{0}=0[/mm]
> untersuchen soll.
> Das möchte ich über konvergierende Folgen
> beweisen/widerlegen.
>
> Zu nächst für [mm]x^{2}:[/mm]
> [mm]x_{n}[/mm] eine Folge die gegen [mm]x_{0}[/mm] konvergiert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}[/mm] = [mm]x_{0}[/mm] = 0
>
> Dies übertrage ich dann:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})[/mm] = [mm](x_{0})^{2}[/mm]
> da ja [mm]x_{n}[/mm] gegen [mm]x_{0}[/mm] konvergiert und das Quadrat daraus
> nichts veränder erhalte ich [mm]f(x_{n})[/mm] = [mm]f(x_{0})[/mm]
>
> Als nächstes untersuche ich x+1:
> Die Voraussetzung der Folge wie oben:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n} \not= x_{n}[/mm] +1
>
> Damit ist die Funktion f nicht stetig.
>
> Da gibt es dann noch eine Aufgabe die werde ich erst mal
> machen und dann ggf. ergänzen, vlt. weiß ich aber vorher
> schon das bis jetzt alles passt, dann ist meine
> Vorgehensweise zmd. richtig.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Sharc |
Aufgabe 1 habe ich geschafft, war ja nur an der einen Stele verrechnet....
War eigentlich offensichtlich ;9
Was ist denn mit Aufgabe 2?
Mache ich da was falsch?
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Hallo nochmal,
> Aufgabe 1 habe ich geschafft, war ja nur an der einen Stele
> verrechnet....
> War eigentlich offensichtlich ;9
Ok!
>
> Was ist denn mit Aufgabe 2?
> Mache ich da was falsch?
Ist das die Reaktion auf meine Frage nach der Funktionsdefinition?
Da kann was nicht stimmen.
Das solltest du überprüfen und dann kannst du dich an das Vorgehen wie oben beschrieben halten ...
Das Folgenkriterium brauchst du nicht, das eignet sich eher dazu, Stetigkeit zu widerlegen ...
Aber erstmal solltest du die richtige Funktion posten!
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Was ist denn mit Aufgabe 2?
> Mache ich da was falsch?
wie Schachuzipus schon angedeutet hat: So kann die dort stehende Funktion nicht definiert sein, da es sonst keine Funktion ist:
Dort steht, dass
[mm] $$f(x)=x^2$$
[/mm]
für alle $x < [mm] 0\,$ [/mm] sein soll und dass zudem
$$f(x)=1$$
für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $x+1 [mm] \ge [/mm] 0$ bzw. äquivalent dazu: für alle $x [mm] \ge [/mm] -1$ sein soll.
Alle $x [mm] \in [/mm] [-1,0[$ sind aber natürlich [mm] $<0\,,$ [/mm] und zudem auch [mm] $\ge -1\,:$
[/mm]
Betrachte etwa [mm] $x=-0.5\,.$
[/mm]
Was ist denn nun $f(-0.5)$? Ist nun [mm] $f(-0.5)=(-0.5)^2=0.25$ [/mm] oder aber doch $f(-0.5)=1$? Oder beides? Mit anderen Worten: Es gibt [mm] $x\,$-Werte, [/mm] die (evtl.) 2 verschiedene y-Werte haben, oder wo y-Werte nicht klar definiert sind (d.h. hier gibt's eine Nichtwohldefiniertheit von [mm] $f\,,$ [/mm] wenn [mm] $f\,$ [/mm] eine Funktion sein soll) - jedenfalls ist [mm] $f\,$ [/mm] mit der obigen Beschreibung keine Funktion.
Vielleicht steht da aber auch einfach nur
[mm] $$f(x):=x^2$$
[/mm]
für alle $x < [mm] \red{0}\,,$
[/mm]
und
$$f(x):=1$$
für alle $x [mm] \ge \red{0}\,.$
[/mm]
Oder vielleicht steht anstelle der [mm] $\red{0}$ [/mm] da eine andere Zahl (etwa [mm] $-1\,$) [/mm] oder vielleicht sind die [mm] $\le$-Zeichen [/mm] etc. vertauscht oder oder oder.
Jedenfalls:
Wenn man eine Funktion
[mm] $$f(x):=f_1(x)$$
[/mm]
für alle $x [mm] \in M_1$ [/mm] und
[mm] $$f(x):=f_2(x)$$
[/mm]
für alle $x [mm] \in M_2$ [/mm] hat, dann sollte [mm] $M_1 \cap M_2=\emptyset$ [/mm] sein (und die Vereinigung der Definitionsbereich von $f$) - oder aber:
Wenn [mm] $M_1 \cap M_2\not=\emptyset\,,$ [/mm] dann sollte für alle [mm] $m\,$ [/mm] aus [mm] $M_1 \cap M_2$ [/mm] sicher [mm] $f_1(m)=f_2(m)$ [/mm] gelten. Sonst kann [mm] $f\,$ [/mm] keine Funktion mehr sein.
Auf derartiges wollte Schachuzipus oben hinweisen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Sharc |
Mist...
Es soll nicht 1 sondern x+1 heißen.
Das ist wohl alles etwas verruscht.
Also x+1 für x >=0
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Hallo nochmal,
dann wäre das (endlich mal) geklärt.
> Mist...
> Es soll nicht 1 sondern x+1 heißen.
> Das ist wohl alles etwas verruscht.
> Also x+1 für x >=0
Ja, und nun?
Wie lautet [mm] $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)$ [/mm] und wie [mm] $\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)$ [/mm] ?
Sind beide gleich?
Gruß
schachuzipus
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