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| Aufgabe | In welchen Punkten sind die Funktionen stetig?
a) f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(x) := [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \IR \setminus \IQ \\ a, & \mbox{für } x \in \IQ \end{cases} [/mm] |
Herrje, ich hab mal voll ein Brett vor dem Kopf... Ich weiß grad überhaupt nicht, wie ich an eine solche Aufgabe herangehe...
f(x)=a ist ja stetig. Also wir die obige Funktion wohl für x [mm] \in \IQ [/mm] stetig sein. Demnach sind die kritischen und zu untersuchenden Punkte wohl die x [mm] \in \IR \setminus \IQ. [/mm] Mir ist schon klar, dass die Funktion nicht stetig sein wird, aber wie genau überprüfe ich das jetzt?
Wenn sie in [mm] x_{0} \in \IR \setminus \IQ [/mm] stetig wäre, dann wäre doch:
[mm] \limes_{x\rightarrow\(x_{0})} [/mm] f(x) = [mm] f(x_{0}), [/mm] wobei x [mm] \in \IQ [/mm] und [mm] x_{0} \in \IR \setminus \IQ.
[/mm]
Und nun?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Sa 13.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> In welchen Punkten sind die Funktionen stetig?
>
> a) f: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit f(x) := [mm]\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \IR \setminus \IQ \\ a, & \mbox{für } x \in \IQ \end{cases}[/mm]
>
> Herrje, ich hab mal voll ein Brett vor dem Kopf... Ich
> weiß grad überhaupt nicht, wie ich an eine solche Aufgabe
> herangehe...
>
> f(x)=a ist ja stetig. Also wir die obige Funktion wohl für
> x [mm]\in \IQ[/mm] stetig sein. Demnach sind die kritischen und zu
> untersuchenden Punkte wohl die x [mm]\in \IR \setminus \IQ.[/mm] Mir
> ist schon klar, dass die Funktion nicht stetig sein wird,
> aber wie genau überprüfe ich das jetzt?
> Wenn sie in [mm]x_{0} \in \IR \setminus \IQ[/mm] stetig wäre, dann
> wäre doch:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\(x_{0})}[/mm] f(x) = [mm]f(x_{0}),[/mm] wobei x [mm]\in \IQ[/mm]
> und [mm]x_{0} \in \IR \setminus \IQ.[/mm]
> Und nun?
Du hast richtig erkannt: es gilt doch hier folgendes (bzw. das ist zu Deiner Aussage äquivalent):
[mm] $f\,$ [/mm] ist genau dann stetig in [mm] $x_0\,,$ [/mm] wenn für alle Folgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] gilt, dass auch [mm] $f(x_n) \to f(x_0)\,.$
[/mm]
Oben:
1. Fall: [mm] $x_0 \in \IQ\setminus \{a\}$:
[/mm]
Ist [mm] $x_0 \in \IQ\setminus\{a\}$, [/mm] so ist [mm] $f(x_0)=a \not=x_0\,.$ [/mm] Es existiert aber eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR \setminus \IQ$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] (Warum?) und es gilt daher
[mm] $$f(x_n)=\ldots \not\to a=\ldots\,,$$
[/mm]
also ist [mm] $f\,$ [/mm] nicht stetig in [mm] $x_0 \in \IQ \setminus\{a\}\,.$
[/mm]
2. Fall: [mm] $x_0 \in \IR \setminus (\IQ \cup \{a\})$:
[/mm]
Hier ist [mm] $f(x_0)=x_0\,,$ [/mm] aber es gibt eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IQ$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] (Warum?). Dann gilt aber
[mm] $$f(x_n)=\ldots \to a\not=x_0=\ldots\,,$$
[/mm]
also ist [mm] $f\,$ [/mm] nicht stetig in [mm] $\red{x_0 \in \IR \setminus \IQ}\,.$
[/mm]
Edit: Das rotgeschriebene bitte ersetzen durch
[mm] $$\blue{x_0 \in \IR \setminus (\IQ \cup \{a\})}\,.$$
[/mm]
Zwischenfazit: [mm] $f\,$ [/mm] ist unstetig in allen [mm] $x_0 \not=a\,.$
[/mm]
3. Fall: [mm] $x_0=a\,$:
[/mm]
Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] nun irgendeine Folge mit [mm] $x_n \to a=x_0\,,$ [/mm] so gilt
[mm] $$f(x_n)=\begin{cases} x_n, & \mbox{für } x_n \in \IR \setminus \IQ \\ a, & \mbox{für } x_n \in \IQ \end{cases}\,,$$
[/mm]
also auf jeden Fall [mm] $f(x_n) \to a=f(a)=f(x_0)\,.$ [/mm] Ergo?
P.S.:
DU solltest die [mm] $\ldots$ [/mm] ergänzen und die Fragen beantworten.
Beste Grüße,
Marcel
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> Du hast richtig erkannt: es gilt doch hier folgendes (bzw.
> das ist zu Deiner Aussage äquivalent):
> [mm]f\,[/mm] ist genau dann stetig in [mm]x_0\,,[/mm] wenn für alle Folgen
> [mm](x_n)_n[/mm] in [mm]\IR[/mm] mit [mm]x_n \to x_0[/mm] gilt, dass auch [mm]f(x_n) \to f(x_0)\,.[/mm]
>
> Oben:
> 1. Fall: [mm]x_0 \in \IQ\setminus \{a\}[/mm]:
> Ist [mm]x_0 \in \IQ\setminus\{a\}[/mm],
> so ist [mm]f(x_0)=a \not=x_0\,.[/mm] Es existiert aber eine Folge
> [mm](x_n)_n[/mm] in [mm]\IR \setminus \IQ[/mm] mit [mm]x_n \to x_0[/mm] (Warum?) ich weiß es leider nicht... und
> es gilt daher
> [mm]f(x_n)= \ldots \not\to a=\ldots\,,[/mm]
> also ist [mm]f\,[/mm] nicht
> stetig in [mm]x_0 \in \IQ \setminus\{a\}\,.[/mm]
[mm] f(x_{n}) [/mm] = [mm] x_{n} \to x_{0} \not= [/mm] a = [mm] f(x_{0})... [/mm] So???
>
> 2. Fall: [mm]x_0 \in \IR \setminus (\IQ \cup \{a\})[/mm]:
> Hier ist
> [mm]f(x_0)=x_0\,,[/mm] aber es gibt eine Folge [mm](x_n)_n[/mm] in [mm]\IQ[/mm] mit
> [mm]x_n \to x_0[/mm] (Warum?) ich weiß es leider nicht... . Dann gilt aber
> [mm]f(x_n)=\ldots \to a\not=x_0=\ldots\,,[/mm]
> also ist [mm]f\,[/mm] nicht
> stetig in [mm]x_0 \in \IR \setminus \IQ\,.[/mm]
[mm] f(x_{n}) [/mm] = a [mm] \to [/mm] a [mm] \not= x_{0} [/mm] = [mm] f(x_{0}). [/mm] So???
>
> Zwischenfazit: [mm]f\,[/mm] ist unstetig in allen [mm]x_0 \not=a\,.[/mm]
>
> 3. Fall: [mm]x_0=a\,[/mm]:
> Ist [mm](x_n)_n[/mm] nun irgendeine Folge mit [mm]x_n \to a=x_0\,,[/mm] so
> gilt
> [mm]f(x_n)=\begin{cases} x_n, & \mbox{für } x_n \in \IR \setminus \IQ \\ a, & \mbox{für } x_n \in \IQ \end{cases}\,,[/mm]
>
> also auf jeden Fall [mm]f(x_n) \to a [/mm] Warum? Weil entweder [mm] f(x_{n}) [/mm] = [mm] x_{n} \to [/mm] a oder [mm] f(x_{n}) [/mm] = a [mm] \to [/mm] a? [mm]=f(a)=f(x_0)\,.[/mm] Ergo? f ist stetig in x = a ?
>
> P.S.:
> DU solltest die [mm]\ldots[/mm] ergänzen und die Fragen
> beantworten.
>
> Beste Grüße,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 So 14.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Du hast richtig erkannt: es gilt doch hier folgendes (bzw.
> > das ist zu Deiner Aussage äquivalent):
> > [mm]f\,[/mm] ist genau dann stetig in [mm]x_0\,,[/mm] wenn für alle
> Folgen
> > [mm](x_n)_n[/mm] in [mm]\IR[/mm] mit [mm]x_n \to x_0[/mm] gilt, dass auch [mm]f(x_n) \to f(x_0)\,.[/mm]
>
> >
> > Oben:
> > 1. Fall: [mm]x_0 \in \IQ\setminus \{a\}[/mm]:
> > Ist [mm]x_0 \in \IQ\setminus\{a\}[/mm],
> > so ist [mm]f(x_0)=a \not=x_0\,.[/mm] Es existiert aber eine Folge
> > [mm](x_n)_n[/mm] in [mm]\IR \setminus \IQ[/mm] mit [mm]x_n \to x_0[/mm] (Warum?) ich
> weiß es leider nicht...
ohne einen großen theoretischen Aspekt hier einzubringen: Es ist hier ja [mm] $x_0$ [/mm] eine rationale Zahl. Dann ist wegen der Irrationalität von [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] folglich [mm] $x_n:=x_0+\frac{\sqrt{2}}{n}$ [/mm] für jedes natürliche [mm] $n\,$ [/mm] irrational, denn andernfalls wäre [mm] $n*(x_n-x_0)=\sqrt{2}$ [/mm] rational, da ja [mm] $(\IQ,+,*)$ [/mm] Körper ist. Mit diesen so definierten [mm] $x_n$ [/mm] ist also die Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR \setminus \IQ$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0\,.$
[/mm]
> >und
> > es gilt daher
> > [mm]f(x_n)= \ldots \not\to a=\ldots\,,[/mm]
> > also ist [mm]f\,[/mm]
> nicht
> > stetig in [mm]x_0 \in \IQ \setminus\{a\}\,.[/mm]
>
> [mm]f(x_{n})[/mm] = [mm]x_{n} \to x_{0} \not=[/mm] a = [mm]f(x_{0})...[/mm] So???
Das ist genauso korrekt. Nur der Ergänzung wegen: Nach meiner Vorgabe würde da stehen
[mm] $$f(x_n)=\underbrace{x_n \not\to a}_{\substack{\text{wegen }x_n \to x_0 \not=a \\\text{und der Eindeutigkeit des Grenzwertes}}}=f(x_0)\,.$$
[/mm]
Also: [mm] $f\,$ [/mm] ist unstetig in allen [mm] $x_0 \in \IQ \setminus \{a\}\,.$ [/mm]
> >
> > 2. Fall: [mm]x_0 \in \IR \setminus (\IQ \cup \{a\})[/mm]:
> > Hier
> ist
> > [mm]f(x_0)=x_0\,,[/mm] aber es gibt eine Folge [mm](x_n)_n[/mm] in [mm]\IQ[/mm] mit
> > [mm]x_n \to x_0[/mm] (Warum?) ich weiß es leider nicht... .
Dann suche nach der Aussage, dass [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt bzw. was das denn bedeutet, und wie Du das verwenden kannst, um die Existenz einer solchen Folge zu begründen.
Dann
> gilt aber
> > [mm]f(x_n)=\ldots \to a\not=x_0=\ldots\,,[/mm]
> > also ist [mm]f\,[/mm]
> nicht
> > stetig in [mm]x_0 \in \IR \setminus \IQ\,.[/mm]
>
> [mm]f(x_{n})[/mm] = a [mm]\to[/mm] a [mm]\not= x_{0}[/mm] = [mm]f(x_{0}).[/mm] So???
Ja. Und damit siehst Du: [mm] $f\,$ [/mm] ist unstetig in allen [mm] $x_0 \in \IR \setminus (\IQ \cup \{a\})\,.$ [/mm] (Beachte bitte den anderen, editierten und somit nun korrigierten Beitrag meinerseits.)
> > Zwischenfazit: [mm]f\,[/mm] ist unstetig in allen [mm]x_0 \not=a\,.[/mm]
> >
>
> > 3. Fall: [mm]x_0=a\,[/mm]:
> > Ist [mm](x_n)_n[/mm] nun irgendeine Folge mit [mm]x_n \to a=x_0\,,[/mm]
> so
> > gilt
> > [mm]f(x_n)=\begin{cases} x_n, & \mbox{für } x_n \in \IR \setminus \IQ \\ a, & \mbox{für } x_n \in \IQ \end{cases}\,,[/mm]
>
> >
> > also auf jeden Fall [mm]f(x_n) \to a[/mm] Warum? Weil entweder
> [mm]f(x_{n})[/mm] = [mm]x_{n} \to[/mm] a oder [mm]f(x_{n})[/mm] = a [mm]\to[/mm] a?
Ja. Etwas schöner gesagt: Jede Teilfolge von [mm] $(f(x_n))_n$ [/mm] konvergiert hier gegen [mm] $a=x_0=f(x_0)$ [/mm] und damit konvergiert auch schon [mm] $(f(x_n))_n$ [/mm] gegen [mm] $f(x_0)\,.$
[/mm]
> [mm]=f(a)=f(x_0)\,.[/mm] Ergo? f ist stetig in x = a ?
So ist's.
Beste Grüße,
Marcel
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