Stetigkeit von (-1)^x < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Auf die gefahr hin, dass ich mich mit meiner ersten Frage als neues Mitglied im Matheboard gleich einmal fürchterlich blamiere...
Ich würde gern wissen, wie man formal zeigen kann, dass die Funktion
f: [mm] \IN \rightarrow \IR
[/mm]
f(x) [mm] \rightarrow (-1)^x
[/mm]
nicht stetig ist. Der Definition nach, ist f stetig genau dann, wenn rechtsseitiger und linksseitiger Limes übereinstimmen. Laut Mathematica ist aber
[mm] "Limit[(-1)^x, [/mm] x -> 1, Direction -> -1] == [mm] Limit[(-1)^x, [/mm] x -> 1, Direction -> 1]"
wahr.
f springt aber zwischen -1 und 1 hin und her und kann daher nicht stetig sein. Ich nehme an, es hat etwas mit dem Definitionsbereich zu tun, da Mathematica im Komplexen rechnet (nehm ich mal an...).
Ich befürchte ich habe da was grundsätzlich noch nicht verstanden... :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Sa 22.12.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo ViktorVektor und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du hast das Problem schon richtig erkannt, dass [mm] f(n)=(-1)^{n}, n\in\IN [/mm] nur zwei Häufungspunkte hat, nämlich -1 und 1
Diese beiden Werte sind auch die Einzigen Elemente im Wertebereich.
Schwierig wird es, diese "Nicht-Stetigkeit" über die Grenzwerte zu betimmen, da die Funktion ja alterniert. Einfacher ist es, den Beweis über das [mm] \epsilon-\delta-Kriterium [/mm] zu führen, also zeigst du, dass nach einem Index N auch nch werte ausserhalb einer gewissen Umgebung um 1 (-1) liegen.
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:43 Sa 22.12.2007 | | Autor: | VictorVektor |
Hallo Marius!
Danke erstmal für deine Antwort. Ich habe es jetzt folgendermaßen versucht:
Definitionsbereich D von alternierenden Funktionen die nach [mm] \IR [/mm] abgebildet werden,
kann höchstens [mm] \IN [/mm] sein (oder?).
Sei also [mm] x_0 [/mm] beliebig und [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] f(x_0).
[/mm]
Sei delta > 0.
Setze x = [mm] x_0 [/mm] - 1. Dann gilt f(x) = [mm] -f(x_0), [/mm] da f(2k) = 1 und f(2k+1) = -1 [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] (dabei müsste man noch berücksichtigen, dass 2k bzw 2k+1 [mm] \in [/mm] D sein muss. Soll man da einfach schreiben "...wobei 2k bzw. 2k+1 [mm] \in [/mm] D", oder geht das eleganter?).
Und damit [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] = [mm] |2*f(x_0)| [/mm] > [mm] \varepsilon
[/mm]
Was einen Widerspruch zur Definition darstellt. Somit ist f in jedem Punkt unstetig.
Kann ich daraus nun schon schließen, dass alle alternierenden Funktionen unstetig sind (intuitiv klar). Soll heißen, ist die multiplikative Zusammensetzung einer unstetigen Funktion mit einer beliebigen anderen wieder unstetig? Wie zeigt man das?
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Hallo,
ich verweise auf meine Antwort v. vor ein paar Minuten, in welcher ich das entsprechende Kriterium nochmal aufgeschrieben habe und erklärt, warum man damit die Stetigkeit v.
[mm] f:\IN \to \IR [/mm] mit
[mm] f(x):=-1^{x}
[/mm]
zeigen kann.
> Kann ich daraus nun schon schließen, dass alle
> alternierenden Funktionen unstetig sind (intuitiv klar).
Du hast hier eine Funktion v. [mm] \IN \to \IR, [/mm] und all diese Funktionen sind stetig, s. dazu auch das erwähnte Post.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Sa 22.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Marius
> Du hast das Problem schon richtig erkannt, dass
> [mm]f(n)=(-1)^{n}, n\in\IN[/mm] nur zwei Häufungspunkte hat, nämlich
> -1 und 1
Betrachtest du das jetzt als Folge?
> Diese beiden Werte sind auch die Einzigen Elemente im
> Wertebereich.
>
> Schwierig wird es, diese "Nicht-Stetigkeit" über die
> Grenzwerte zu betimmen, da die Funktion ja alterniert.
> Einfacher ist es, den Beweis über das
> [mm]\epsilon-\delta-Kriterium[/mm] zu führen, also zeigst du, dass
> nach einem Index N auch nch werte ausserhalb einer gewissen
> Umgebung um 1 (-1) liegen.
>
> Hilft das erstmal weiter?
Wenn man das als Folge betrachtet und sich fuer den Grenzwert fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] interessiert, dann hilft das weiter. Ansonsten macht das nicht so viel Sinn.
Die wichtige Frage ist eigentlich, welche Topologie auf [mm] $\IN$ [/mm] gegeben ist. Ansonsten macht es keinen Sinn, von Stetigkeit zu reden. (Und die Definition von Stetigkeit ueber links- und rechtsseitigen Grenzwert macht in diesem Fall ueberhaupt keinen Sinn, da sie nur Sinn macht, wenn man ``nicht zu kleine'' Intervalle in [mm] $\IR$ [/mm] hat bzw. Vereinigungen davon, also welche die mehr als einen Punkt umfassen.)
Die Funktion [mm] $\IN \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto (-1)^x$ [/mm] ist uebrigens sehr wohl stetig, da man auf [mm] $\IN$ [/mm] normalerweise die diskrete Topologie hat (dies stimmt mit der von [mm] $\IR$ [/mm] induzierten Standardtopologie ueberein), und bei der diskreten Topologie auf [mm] $\IN$ [/mm] sind alle Funktionen, die von [mm] $\IN$ [/mm] weggehen, stetig.
LG Felix
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Hallo Felix!
Danke für deine Antwort! Könntest du das bitte etwas genauer erklären, bzw., wie läßt sich beweisen, dass die Funktion stetig ist?
Ich habe folgende Definition für Stetigkeit:
Eine Funktion f: [mm] D\Rightarrow \IR [/mm] heißt stetig an der Stelle [mm] x_0, [/mm] wenn [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] lim_(x->x_0)f(x).
[/mm]
Wieso macht diese Definition hier keinen Sinn? In der Definition darf ja der Definitionsbereich beliebig gewählt werden, solange der Wertebereich [mm] \IR [/mm] ist.
Tut mir leid, deinen Einwand mit der Topologie versteh ich leider nicht. Ich habe in zwei Büchern und einem Skriptum bezüglich Stetigkeit nachgeschaut, aber kann in diesem Zusammenhang nirgends etwas bezüglich Topologie finden. Allerdings wird auch nicht wirklich wo auf alternierende Funktionen eingegangen. Wird uns Erstsemestrigen da etwa etwas vorenthalten was erst später in einer Topologie-Vorlesung erörtert wird, oder denke ich zu kompliziert?
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> Ich habe folgende Definition für Stetigkeit:
> Eine Funktion f: [mm]D\Rightarrow \IR[/mm] heißt stetig an der
> Stelle [mm]x_0,[/mm] wenn [mm]f(x_0)[/mm] = [mm]lim_{x->x_0}f(x).[/mm]
>
> Wieso macht diese Definition hier keinen Sinn? In der
> Definition darf ja der Definitionsbereich beliebig gewählt
> werden, solange der Wertebereich [mm]\IR[/mm] ist.
Hallo,
doch, doch, Deine Defintion für Stetigkeit ist schon in Ordnung, "kein Sinn" bezog sich auf etwas, was M.Rex zum [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium schrieb.
Bevor wir Deine Def. anwenden, überlegen wir mal, was sie bedeutet.
Sie bedeutet, daß für jede Folge [mm] (x_n), [/mm] die gegen [mm] x_0 \in [/mm] D konvergiert, die Folge [mm] (f(x_n)) [/mm] der Funktionswerte gegen [mm] f(x_0) [/mm] konvergiert.
(Wenn Dir das nicht sofort klar ist, so schau nach, wie Ihr den Grenzwert v. Funktionen definiert hattet.
Bei stetigen Funktionen ist dieser Grenzwert gerade der Funktionswert).
Wir müssen also prüfen, ob für jede Folge [mm] (x_n), [/mm] die gegen [mm] x_0\in [/mm] N konvergiert, die Folge [mm] f(x_n) [/mm] gegen [mm] f(x_0)=-1^{x_0} [/mm] geht.
Sei nun [mm] x_0 [/mm] aus dem Def.bereich, also aus [mm] \IN.
[/mm]
Wie sehen die Folgen [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n \in \IN, [/mm] die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergieren aus?
Es sind alles Folgen, die ab irgendeinem Folgenglied konstant [mm] =x_0 [/mm] sind.
Tja, und somit ist die Folge der Funktionswerte [mm] (f(x_n)) [/mm] ab dem entsprechenden Schwellenwert auch konstant, nämlich [mm] f(x_n)=f(x_0), [/mm] und konvergiert folglich gegen [mm] f(x_0)=-1^{x_0}.
[/mm]
Eingehen möchte ich noch auf das [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium für Stetigkeit, mit dem man die Stetigkeit Deiner Funktion auch sehr leicht zeigen kann.
Das Kriterium lautet wie folgt.:
Die Funktion [mm] f:D\to \IR [/mm] ist stetig <==>
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein passendes [mm] \delta>0 [/mm] so, daß für alle [mm] x\in [/mm] D, deren Abstand zu x kleiner als [mm] \vardelta [/mm] ist, für die also [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] gilt,
der Abstand von f(x) zu [mm] f(x_0) [/mm] kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist, also [mm] |f(x)-f(x_0)| <\varepsilon.
[/mm]
Dies ist bei Deiner Funktion gegeben: Wir betrachten beliebige Stelle [mm] x_0 \in \IN. [/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0 beliebig klein vorgegeben. Wähle [mm] \delta:=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Für alle x des Def.bereiches [mm] \IN, [/mm] die nicht weiter als [mm] \delta:=\bruch{1}{2} [/mm] von [mm] x_0 [/mm] entfernt liegen,
ist der Funktionswert nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] von [mm] f(x_0) [/mm] entfernt, denn das einzige Element x, welches die [mm] \delta [/mm] - Bedingung erfüllt, ist [mm] x_0 [/mm] selbst, und der Abstand v. [mm] f(x_0) [/mm] zu [mm] f(x_0) [/mm] ist =0, also [mm] <\varepsilon.
[/mm]
Durchdenke Dir das sehr langsam und gründlich.
Dann wird Dir aufgehen:
Es sind sämtliche Funktionen: D [mm] \to \IR, [/mm] deren Definitionsbereich [mm] D\subset \IR [/mm] aus solchen "einzeln liegenden" Punkten besteht, stetig.
Gruß v. Angela
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Danke! Das hat mich jetzt ein ganzes Stück weitergebracht.
In meinem "Beweis" hab ich einfach verwechselt, dass man das [mm] \delta [/mm] abhängig von [mm] \varepsilon [/mm] bzw. beliebig klein wählen kann, und nicht umgekehrt.
Wenn also neben [mm] x_0 [/mm] keine Elemente in D existieren [mm] (x_0 [/mm] also ein isolierter Punkt ist), deren Abstand zu [mm] x_0 [/mm] unendlich klein ist, so ist die Funktion in [mm] x_0 [/mm] stetig, da ich ja nur ein entsprechend kleines [mm] \delta [/mm] wählen muss, welches ich dann sogar für alle beliebig vorgegebenen [mm] \vareplsilon [/mm] verwenden kann.
> Wie sehen die Folgen $ [mm] (x_n) [/mm] $ mit $ [mm] x_n \in \IN, [/mm] $ die gegen $ [mm] x_0 [/mm] $
> konvergieren aus?
> Es sind alles Folgen, die ab irgendeinem Folgenglied konstant $ [mm] =x_0 [/mm] $ sind.
Das ist so, weil sonst das Grenzwertkriterium nicht erfüllt ist. Das gilt aber auch nur dann wenn der Grenzwert a ein isolierter Punkt ist (also in [mm] \IN [/mm] ist von [mm] \IR [/mm] aus betrachtet ja jeder Punkt isoliert). Richtig?
Ich hoffe ich hab das jetzt richtig verstanden...
Danke nochmal!
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>
> Ich hoffe ich hab das jetzt richtig verstanden...
Hallo,
ja, das sieht mit so aus.
Frohes Weihnachtsfest und
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Mo 24.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Angela
> > Ich habe folgende Definition für Stetigkeit:
> > Eine Funktion f: [mm]D\Rightarrow \IR[/mm] heißt stetig an der
> > Stelle [mm]x_0,[/mm] wenn [mm]f(x_0)[/mm] = [mm]lim_{x->x_0}f(x).[/mm]
> >
> > Wieso macht diese Definition hier keinen Sinn? In der
> > Definition darf ja der Definitionsbereich beliebig gewählt
> > werden, solange der Wertebereich [mm]\IR[/mm] ist.
>
> doch, doch, Deine Defintion für Stetigkeit ist schon in
> Ordnung, "kein Sinn" bezog sich auf etwas, was M.Rex zum
> [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] - Kriterium schrieb.
Ich bezog mich schon auf die Definition mit dem Limes. Das liegt daran, dass ich eine andere Definition des Limes kenne und verwende, bei der die Folgen, die gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergieren, den Wert [mm] $x_0$ [/mm] nicht annehmen duerfen. In diesem Fall gibt es also keine solchen Folgen, womit der Limes nicht existiert und insb. nicht gleich [mm] $f(x_0)$ [/mm] sein kann.
Beide Definitionen haben ihre Vor- und Nachteile (bei deiner ist z.B. die Existenz von [mm] $\lim_{x \to x_0} [/mm] f(x)$ aequivalent dazu, dass $f$ in [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist).
Wenn der Punkt [mm] $x_0$ [/mm] ein Haeufungspunkt vom Definitionsbereich ist, dann sind die Definitionen von Stetigkeit ueber beide Definitionen des Limes aequivalent.
LG Felix
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