Stetigkeit von Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Fr 14.12.2007 | | Autor: | Bruns |
| Aufgabe | Man bestimme den maximalen Definitionsbereich D R f¨ur folgende Abbildungsvorschriften?
Ist f : D -> R stetig? Man bestimme die Funktionsgrenzwerte an den Rändern von D und für
x -> ± [mm] \infty [/mm] , sofern sie existieren. Läßt sich f stetig fortsetzen?
a) f(x) = [|x|(6x3 − 4x2 − 2)]/[2x4 + 7x − 9|x|]
b) f(x) [mm] =[3\wurzel{1+x} [/mm] − 1]/x |3te Wurzel aus (1+x) |
Hallo zusammen,
habe ein Problem war in dieser Vorlesung über die Stetigkeit von Funktionen krank und nun haben wir diese Aufgaben.
Bei a) habe ich mir ein paar Überlegungen gemacht:
[mm] D=R\{-2,0,1} [/mm] für die Stetigkeit untersuche ich nun dieses Def.Lücken auf Stetigkeit.
Also x=0 rechter Grenzwert gleich 1 und linker gleich 1/8; nur was bedeutet das jetzt?
x=1 habe ich beides mal 5/3 raus, also ist f in diesem Punkt stetig.
bei x=-2 ist f nicht definiert, sie geht gegen [mm] +\infty=> [/mm] Asymptote oder?
Verhalten gegen [mm] \pm \infty:
[/mm]
für [mm] +\infty [/mm] gegen 3 und für [mm] -\infty [/mm] gegen -3
nur was sage ich nun über die Stetigkeit von f aus?
und bei b) komme ich garnicht weiter, ein Ansatz wäre nicht schlecht.
Vielen Dank im Voraus.
Gruß Christoph
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Man bestimme den maximalen Definitionsbereich D R f¨ur
> folgende Abbildungsvorschriften?
> Ist f : D -> R stetig? Man bestimme die
> Funktionsgrenzwerte an den Rändern von D und für
> x -> ± [mm]\infty[/mm] , sofern sie existieren. Läßt sich f stetig
> fortsetzen?
>
> a) f(x) = [|x|(6x3 − 4x2 − 2)]/[2x4 + 7x
> − 9|x|]
>
> b) f(x) [mm]=[3\wurzel{1+x}[/mm] − 1]/x |3te Wurzel
> aus (1+x)
> Hallo zusammen,
>
> habe ein Problem war in dieser Vorlesung über die
> Stetigkeit von Funktionen krank und nun haben wir diese
> Aufgaben.
>
> Bei a) habe ich mir ein paar Überlegungen gemacht:
>
> [mm]D=R\{-2,0,1}[/mm] für die Stetigkeit untersuche ich nun dieses
> Def.Lücken auf Stetigkeit.
>
> Also x=0 rechter Grenzwert gleich 1 und linker gleich 1/8;
> nur was bedeutet das jetzt?
Eine Funktion $f$ ist an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] genau dann stetig, wenn [mm] $\lim_{x\rightarrow x_0-}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0+}f(x)$.
[/mm]
Sind also linker und rechter Grenzwert an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nicht gleich, kann $f$ an dieser Stelle nicht stetig sein (bzw. falls $f$ an dieser Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nicht definiert ist: kann $f$ auch an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nicht stetig fortgesetzt werden).
>
> x=1 habe ich beides mal 5/3 raus, also ist f in diesem
> Punkt stetig.
>
> bei x=-2 ist f nicht definiert, sie geht gegen [mm]+\infty=>[/mm]
> Asymptote oder?
>
> Verhalten gegen [mm]\pm \infty:[/mm]
>
> für [mm]+\infty[/mm] gegen 3 und für [mm]-\infty[/mm] gegen -3
>
> nur was sage ich nun über die Stetigkeit von f aus?
Siehe oben.
> und bei b) komme ich garnicht weiter, ein Ansatz wäre nicht
> schlecht.
Je nachdem, wie dogmatisch man bezüglich des Definitionssbereichs von [mm] $\sqrt[3]{\ldots}$ [/mm] sein will, ist die einzige Definitionslücke $x=0$. Da sowohl links- als auch rechtsseitiger Grenzwert [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] ist, kann diese Funktion mit der Definition [mm] $f(0):=\frac{1}{3}$ [/mm] stetig forgesetzt werden.
Bem: diesen Grenzwert an der Stelle $x=0$ kannst Du auf verschiedenen Wegen bestimmen:
1. Taylorentwicklung [mm] $\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{x}{3}+o(x^2)$ [/mm] (für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$)
oder
2. "Spitalregel"
oder
3. indem Du verwendest, dass ja gilt [mm] $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, [/mm] d.h. [mm] $a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$, [/mm] wobei Du hier [mm] $a:=\sqrt[3]{1+x}$ [/mm] und $b:=1$ setzen wirst.
|
|
|
|
