Stetigkeit von Q->R < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Fr 18.01.2008 | | Autor: | upskuhr |
| Aufgabe | An welchen Stellen ist folgende Funktion stetig
[mm] f:\IQ\to\IR
[/mm]
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn }x^2<2 \\
1, & \mbox{wenn }x^2>2
\end{matrix}\right. [/mm] |
Habe mir folgende (Teillösung) zu obiger Aufgabe erarbeitet und wüsste gerne, ob sie korrekt ist:
Beh.: f ist überall stetig
Bew.:
Anm.: [mm] x_0^2=2 [/mm] muss nicht behandelt werden, da es nicht in [mm] \IQ [/mm] liegt.
Fall 1: [mm] x_0^2<2 [/mm]
[mm] |x-x_0|<\delta. [/mm]
wähle [mm] \delta=|\wurzel{2}-x_0|
[/mm]
Wenn [mm] x
Wenn [mm] x>x_0 [/mm] dann gilt, [mm] x_0+\delta<=\wurzel{2} [/mm] da [mm] \wurzel{2} [/mm] nicht in [mm] \IQ [/mm] folgt, [mm] x_0+\delta<\wurzel{2} [/mm] => [mm] x<\wurzel{2} [/mm] => [mm] f(x)-f(x_0)=0-0<\epsilon
[/mm]
Der Fall [mm] x_0^2>2 [/mm] wäre dann analog.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Merle23 |
Also erstmal fehlt dir da das [mm] \varepsilon, [/mm] denn du willst ja das [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] verwenden. Also du musst am Anfang vom Beweis noch schreiben "Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0".
Ausserdem hast du das [mm] \delta [/mm] falsch gewählt. Du nimmst ja den Abstand von [mm] x_{0} [/mm] zu [mm] \wurzel{2}, [/mm] hast aber nicht bedacht, dass [mm] x_{0} [/mm] auch in der Nähe von [mm] -\wurzel{2} [/mm] liegen kann. Dein [mm] \delta [/mm] wäre dann entsprechend das Minimum der beiden Abstände.
Der Rest deines Beweises sieht richtig aus - ich würd ihn aber lieber noch etwas umstrukturieren.
Nachdem du "Fall 1: [mm] x_{0}^{2} [/mm] < 2" geschrieben hast, wäre es angebracht zu zeigen, dass für alle x mit | x - [mm] x_{0} [/mm] | < [mm] \delta [/mm] gilt: [mm] x^{2} [/mm] < 2 und somit f(x) = 0. Und dann kannste einfach sagen | f(x) - [mm] f(x_{0}) [/mm] | = |0 - 0| = 0 < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Das liest sich einfach besser, find ich.
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