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Forum "Funktionalanalysis" - Stetigkeit von lin. Operatoren
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Stetigkeit von lin. Operatoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Mo 22.10.2007
Autor: Kyrill

Aufgabe
Seien V,W normierte Vektorräume und A: V [mm] \to [/mm] W ein linearer Operator. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

a) A ist stetig
b) A ist beschränkt
c) A ist stetig in 0

Hallo,
könnt ihr mir bitte bei der simplen Aufgabe helfen`?

Schönen Dank im Voraus

        
Bezug
Stetigkeit von lin. Operatoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Mo 22.10.2007
Autor: SEcki


> a) A ist stetig
>  b) A ist beschränkt
>  c) A ist stetig in 0
>  Hallo,
>  könnt ihr mir bitte bei der simplen Aufgabe helfen'?

Ein paar Ideen zum Weiterdenken (ohne Gewähr, dass es nicht noch andere Möglichkieten gibt): a nach c ist klar. Zu c nach a: Eine Folge [m]x_n \to x[/m] kann man ja als [m](x_n-x)\to 0[/m] umschreiben. Da die Funktion ja in 0 stetig ist, kann man dort das Folgenkriterium anwenden. Kann man jetzt das Folgenkriterium für x beweisen?

Zu a nach b: Das Epsilon-Delta-Kriterium gibt dies: zu beliebigen Epsilon gibt es einen Delat-Ball, der in diesen Epsilon-Ball abgebilkdet wird. Da A linear ist, was folgt nun wenn der ursprüngliche Delta-Ball vergrößert wird?

Zu b nach c: Falls [m]x_n\to x[/m] aber nicht [m]A(x_n)\to 0[/m], dann wäre A nicht beschränkt. Also gilt das Folgenkriterium für 0. (sonst gäbe es immer wieder [m]x_k[/m] mit [m]||x_k||<\frac{1}{k}[/m], aber [m]||Ax_k||\ge 1[/m])

SEcki

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