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Stetigkeit von oben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 Mi 27.01.2010
Autor: Damasus

Aufgabe
Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass die Aussage in Teil (c) im Allgeimeinen nicht gilt, wenn man auf die Voraussetzungen [mm]\mu_{n}(A_{1})<\infty[/mm] verzichtet.

Hallo erstmal,
ich wiederhole erstmal die Defintion der Stetigkeit von oben:
Gilt [mm]\mu_{n}(A_{1})<\infty[/mm] und [mm]A_{k}\supseteq A_{k+1}[/mm] für alle [mm]k\in \IN[/mm], so ist [mm]\mu_{n}(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k})=\limes_{k\rightarrow\infty}\mu_{n}(A_{k}).[/mm]

Also geht anscheinend was kaputt, wenn man [mm]A_{1}=\infty[/mm] wählt. Wir sitzen hier zu 5. und haben 1000 Fälle ausprobiert, z.B.
    (1) Alle [mm]A_{k}=\infty[/mm]
    (2) [mm]A_{1}=\infty[/mm] und alle anderen Einpunktmenge oder leere Menge
u.s.w.

Aber bei allen geht eig. nichts kaputt, oder?
Hat vielleicht jemand eine Idee?

Mit freundlichen Grüßen
Damasus

        
Bezug
Stetigkeit von oben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Mi 27.01.2010
Autor: Walde

Hi Damasus,

kuck mal []hier Bei Definition 1.35 ist ein Beispiel, warum auf die Bedingung nicht verzichtet werden kann. Die Maße der einzelnen [mm] A_n [/mm] sind jeweils Unendlich (also auch der GW), aber der Schnitt über alle [mm] A_n [/mm] ist die leere Menge (da es keine nat. Zahl gibt, die in allen [mm] A_n [/mm] drin ist.)

Wär' ich auch nicht drauf gekommen ;-)

LG walde

Bezug
                
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Stetigkeit von oben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:16 Mi 27.01.2010
Autor: Damasus

ahh ist ja cool. Danke schonmal. Aber besonders schlau werde ich dadurch nicht^^

Kannst du mir, dass vielleicht etwas ausführlicher beschreiben? Wäre super nett...

Also alle [mm] $\mu_{n}(A)=\infty$ [/mm] und der Schnitt ist die Leere Menge??

Mfg,
Damasus

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Stetigkeit von oben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 Mi 27.01.2010
Autor: fred97


> ahh ist ja cool. Danke schonmal. Aber besonders schlau
> werde ich dadurch nicht^^
>  
> Kannst du mir, dass vielleicht etwas ausführlicher
> beschreiben? Wäre super nett...
>  
> Also alle [mm]\mu_{n}(A)=\infty[/mm] und der Schnitt ist die Leere
> Menge??


[mm] \mu [/mm] ist hier das Zählmaß auf der Potenzmenge von [mm] \IN [/mm]

es ist [mm] $A_n [/mm] = [mm] \{n,n+1, ..\}$ [/mm]

Damit ist [mm] \mu(A_n) [/mm] = [mm] \infty [/mm] für jedes n , aber [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] = [mm] \emptyset [/mm]

FRED

>  
> Mfg,
> Damasus


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Stetigkeit von oben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:42 Mi 27.01.2010
Autor: Damasus

Die Schnittmenge ist doch immer leer oder?
Also ich fasse noch einmal zusammen:
Alle [mm] $\mu(A_{n})=\infty$. [/mm] So [mm] \mu [/mm] soll nun unser Zählmaß sein, soll uns also sagen wieviele Elemente in der Menge sind. Wenn ich jetzt [mm] $A_{n}={n,n+1,...} [/mm] wähle, dann ist das Zählmaß natürlich und unendlich, aber die Schnittmenge ist doch immer leer.

Oder verstehe ich schon wieder was nicht.

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Stetigkeit von oben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Mi 27.01.2010
Autor: fred97


> Die Schnittmenge ist doch immer leer oder?

Was meinst Du mit "immer" ?


>  Also ich fasse noch einmal zusammen:
>  Alle [mm]$\mu(A_{n})=\infty$.[/mm] So [mm]\mu[/mm] soll nun unser Zählmaß
> sein, soll uns also sagen wieviele Elemente in der Menge
> sind. Wenn ich jetzt [mm]$A_{n}={n,n+1,...}[/mm] wähle, dann ist
> das Zählmaß natürlich und unendlich, aber die
> Schnittmenge ist doch immer leer.

Ja, der Schnitt der obeigen [mm] A_n [/mm] ist leer

Wo ist Dein Problem ?

FRED

>  
> Oder verstehe ich schon wieder was nicht.


Bezug
                                                
Bezug
Stetigkeit von oben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Mi 27.01.2010
Autor: Damasus

ja was denn wenn [mm] $\mu(A_{1})<\infty$, [/mm] dann ist doch der Schitt des Zählmaßes immer noch leer oder??
Was passiert den nun? [mm] \mu(A) [/mm] = ? und Schnitt = ?



Bezug
                                                        
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Stetigkeit von oben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 Mi 27.01.2010
Autor: fred97


> ja was denn wenn [mm]\mu(A_{1})<\infty[/mm], dann ist doch der
> Schitt des Zählmaßes immer noch leer oder??


???????????????????


>  Was passiert den nun? [mm]\mu(A)[/mm] = ? und Schnitt = ?


Es sollte gezeigt werden, dass

               $ [mm] \mu_{}(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k})=\limes_{k\rightarrow\infty}\mu_{}(A_{k}). [/mm] $

im allgemeinen nicht mehr richtig ist, wenn [mm] \mu(A_1) [/mm] = [mm] \infty [/mm]

In obigem Beispiel ist [mm] \mu(A_n) [/mm] = [mm] \infty [/mm]  für jedes n, also ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\mu_{}(A_{n})= \infty. [/mm]

Weiter ist in diesem Beispiel [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n} [/mm] = [mm] \emptyset, [/mm] also [mm] \mu(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n})=0 [/mm]

FRED

>  
>  


Bezug
                                                                
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Stetigkeit von oben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Mi 27.01.2010
Autor: Damasus

Ich verstehe schon, was ihr mir versucht zu erklären, aber ich habe halt im Kopf:

Wenn [mm] $\mu_{n}(A_{n}=\infty$ [/mm] dann könnten die [mm] A_{i} [/mm] ja alle [mm] \IR^{n} [/mm] sein, dann wäre aber der Schnitt ja nicht leer^^
Versteht ihr wie ich mir das vorstelle? Davon muss ich halt wegkommen.
Bei euch sind die [mm] $A_{i}$ [/mm] paarweise disjunkt ne?

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Bezug
Stetigkeit von oben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 Mi 27.01.2010
Autor: fred97


> Ich verstehe schon, was ihr mir versucht zu erklären, aber
> ich habe halt im Kopf:
>  
> Wenn [mm]\mu_{n}(A_{n}=\infty[/mm] dann könnten die [mm]A_{i}[/mm] ja alle
> [mm]\IR^{n}[/mm] sein, dann wäre aber der Schnitt ja nicht leer^^


In obigem Beispiel ist das aber nicht so !


>  Versteht ihr wie ich mir das vorstelle? Davon muss ich
> halt wegkommen.
>  Bei euch sind die [mm]A_{i}[/mm] paarweise disjunkt ne?


Nee ! Es ist [mm] A_m \subseteq A_n [/mm] für m>n, also [mm] A_m \cap A_n [/mm] = [mm] A_m [/mm]

FRED

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