Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:34 Mi 29.02.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | [mm] $\mathbb R\to\mathbb [/mm] R$,
[mm] $x\mapsto\begin{cases}x\sin\frac{1}{x} & \text{falls}~x\neq 0\\
0 & \text{falls}~x=0
\end{cases}$
[/mm]
Zeigen Sie mittels des Epsilon-Delta-Kriteriums für Stetigkeit, daß diese Funktion in jedem [mm] $x\in \mathbb [/mm] R$ stetig ist. |
Hallo, ich tu' mich mal wieder schwer beim Nachweis der Stetigkeit.
Ich muss zeigen, daß es für jedes [mm] $x_0\in\mathbb [/mm] R$ und für jedes [mm] $\varepsilon~>~0$ [/mm] ein [mm] $\delta(\varepsilon,x_0)$ [/mm] gibt, sodaß [mm] $d(f(x_0),f(x))<\varepsilon$ [/mm] für jedes $x$ mit [mm] $d(x,x_0)<\delta(\varepsilon,x_0)$ [/mm] folgt.
(Da hier die Metrik wohl die euklidische Metrik sein soll, kann man auch einfach schreiben: [mm] $\vert f(x_0)-f(x)\vert<\varepsilon$ [/mm] bzw. [mm] $\vert x-x_0\vert<\delta(\varepsilon,x_0)$.)
[/mm]
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Erstmal würde ich den Fall [mm] $x_0=0$ [/mm] untersuchen:
[mm] $\vert f(x)-f(x_0)\vert=\vert f(x)\vert=\left\vert x\sin\frac{1}{x}\right\vert=\vert x\vert\cdot\left\vert\sin\frac{1}{x}\right\vert=\vert x-x_0\vert\cdot\left\vert\sin\frac{1}{x}\right\vert<\delta\cdot\left\vert\sin\frac{1}{x}\right\vert [/mm] $
Komme hier leider nicht weiter...
KORREKTUR (Edit):
Das war doof von mir.
Man kann's doch einfach so machen:
[mm] $\vert f(x)-f(x_0)\vert=...=\left\vert x\sin\frac{1}{x}\right\vert~<~\vert x\vert=\vert x-x_0\vert [/mm] < [mm] \varepsilon=:\delta$
[/mm]
Richtig so?
Kann ich einen Tipp haben, wie es bei [mm] $x_0\neq [/mm] 0$ geht? Ich denke ähnlich, bekomme es aber nicht hin.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:34 Mi 29.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was weisst du denn über die maximale größe von sin(1/x)
Grad seh ich, dass du das schon Ohne Begründung, die du dazuschreiben solltest hattest, richtig.
ausserhalb x=0 ist nichts zu tun das ist die Komposition von 2 stetigen fkt. und deshalb stetig.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Mi 29.02.2012 | | Autor: | mikexx |
Vielen lieben Dank für die bisherigen Antworten!
Für den Fall, daß [mm] $x_0\neq [/mm] 0$ gilt, kann ich, wie Du sagst, einfach sagen, daß die Komposition zweier stetiger Funktionen stetig ist, okay. Aber in der Aufgabenstellung steht ja, daß man die Stetigkeit explizit mit dem Epsilon-Delta-Kriterium zeigen soll.
Daher weiß ich nicht, ob die Argumentation mit der Komposition hier angemessen ist.
Wie ließe sich das denn mit dem Kriterium zeigen?
LG mikexx
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Hallo mikexx,
> Vielen lieben Dank für die bisherigen Antworten!
>
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> Für den Fall, daß [mm]x_0\neq 0[/mm] gilt, kann ich, wie Du sagst,
> einfach sagen, daß die Komposition zweier stetiger
> Funktionen stetig ist, okay. Aber in der Aufgabenstellung
> steht ja, daß man die Stetigkeit explizit mit dem
> Epsilon-Delta-Kriterium zeigen soll.
>
> Daher weiß ich nicht, ob die Argumentation mit der
> Komposition hier angemessen ist.
Normalerweise freuen sich Korrekteure über derartige Bemerkungen, da sie zeigen, dass man was verstanden hat und sich nicht unnötig Arbeit macht, sondern nur die "kritische(n)" Stelle(n) untersucht.
Ansonsten mache eine Fallunterscheidung: 1) [mm]x_0=0[/mm], 2) [mm]x_0\neq 0[/mm]
>
>
> Wie ließe sich das denn mit dem Kriterium zeigen?
Einfach ansetzen, das Gute ist, dass du den Sinus immer betraglich nach oben gegen 1 abschätzen kannst ...
>
>
> LG mikexx
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:50 Mi 29.02.2012 | | Autor: | mikexx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Diejenigen, die korrigieren, freuen sich sicher über weniger Korrekturarbeit, aber die Aufgabenstellung muß man ja einhalten und da steht, man soll das Epsilon-Delta-Kriterium verwenden.
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Den Fall, daß $x_0=0$ ist, habe ich ja schon gelöst.
Bleibt $x_0\neq 0$:
Da würde ich also wieder so anfangen und die Dreiecksungleichung benutzen:
$\vert f(x)-f(x_0)\vert=\left\vert x\sin\frac{1}{x}-x_0\sin\frac{1}{x_0\right\vert\leq\left\vert x\sin\frac{1}{x}\right\vert+\left\vert x_0\sin\frac{1}{x_0}\right\vert\leq\vert x\vert+\vert x_0\vert$
Jetzt hänge ich allerdings...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 02.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Mi 29.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\mathbb R\to\mathbb R[/mm],
>
> [mm]$x\mapsto\begin{cases}x\sin\frac{1}{x} & \text{falls}~x\neq 0\\
0 & \text{falls}~x=0
\end{cases}$[/mm]
>
> Zeigen Sie mittels des Epsilon-Delta-Kriteriums für
> Stetigkeit, daß diese Funktion in jedem [mm]x\in \mathbb R[/mm]
> stetig ist.
>
>
>
> Hallo, ich tu' mich mal wieder schwer beim Nachweis der
> Stetigkeit.
>
> Ich muss zeigen, daß es für jedes [mm]x_0\in\mathbb R[/mm] und
> für jedes [mm]\varepsilon~>~0[/mm] ein [mm]\delta(\varepsilon,x_0)[/mm]
> gibt, sodaß [mm]d(f(x_0),f(x))<\varepsilon[/mm] für jedes [mm]x[/mm] mit
> [mm]d(x,x_0)<\delta(\varepsilon,x_0)[/mm] folgt.
>
> (Da hier die Metrik wohl die euklidische Metrik sein soll,
> kann man auch einfach schreiben: [mm]\vert f(x_0)-f(x)\vert<\varepsilon[/mm]
> bzw. [mm]\vert x-x_0\vert<\delta(\varepsilon,x_0)[/mm].)
>
>
> -------------------------------
>
> Erstmal würde ich den Fall [mm]x_0=0[/mm] untersuchen:
>
> [mm]\vert f(x)-f(x_0)\vert=\vert f(x)\vert=\left\vert x\sin\frac{1}{x}\right\vert=\vert x\vert\cdot\left\vert\sin\frac{1}{x}\right\vert=\vert x-x_0\vert\cdot\left\vert\sin\frac{1}{x}\right\vert<\delta\cdot\left\vert\sin\frac{1}{x}\right\vert[/mm]
>
> Komme hier leider nicht weiter...
>
> KORREKTUR (Edit):
> Das war doof von mir.
>
> Man kann's doch einfach so machen:
>
> [mm]\vert f(x)-f(x_0)\vert=...=\left\vert x\sin\frac{1}{x}\right\vert~<~\vert x\vert=\vert x-x_0\vert < \varepsilon=:\delta[/mm]
Mit dem "<" wäre ich vorsichtig.
Besser:
[mm]\vert f(x)-f(x_0)\vert=...=\left\vert x\sin\frac{1}{x}\right\vert~ \le ~\vert x\vert=\vert x-x_0\vert < \varepsilon=:\delta[/mm]
FRED
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> Richtig so?
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> Kann ich einen Tipp haben, wie es bei [mm]x_0\neq 0[/mm] geht? Ich
> denke ähnlich, bekomme es aber nicht hin.
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