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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Mo 02.01.2006 | | Autor: | revival |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} x²+1, & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass f in [mm] x_{0} [/mm] = 0 nicht stetig ist, indem Sie zeigen, dass
[mm] \exists \varepsilon_{0} [/mm] > 0, so dass [mm] \forall \delta [/mm] > 0 [mm] \exists x_{1} \in \IR [/mm] mit
[mm] |x_{0} [/mm] - [mm] x_{1}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] und [mm] |f(x_{0}) [/mm] - [mm] f(x_{1}| \ge \varepsilon_{0}.
[/mm]
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Ich versuche mich an dieser Aufgabe seit einiger Zeit und komme nicht wirklcih weiter, weil wir dazu leider noch keine Bsp.-Aufgabe gerechnet haben. Ihr würdet mir sehr helfen, wenn ihr mir einen Tipp geben könntet, wie ich weitermachen muss.
Zunächst mal, muss ich natürlich eine Fallunterscheidung machen. Habe mit [mm] x_{0} [/mm] = 0 angefangen:
Dann sollen wir zeigen, dass
[mm] |f(x_{0}-f(x_{1}) [/mm] | [mm] \ge \varepsilon_{0} [/mm] (( also [mm] |x_{0}²+1 [/mm] - [mm] (x_{1}²+1)| \ge \varepsilon_{0} [/mm] )) und [mm] |x_{0} [/mm] - [mm] x_{1} [/mm] | < [mm] \delta [/mm] .
Ursprünglich dachte ich, könnte ich jetzt einfach ein beliebiges [mm] \delta [/mm] wählen, also z.b. [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon_{0}, [/mm] die zweite Gleichung mit der 3. bin. Form. erweitern und dann beide Gleichungen nach [mm] \varepsilon_{0} [/mm] gleichsetzen..
Dann käme man (vorausgesetzt ich hab mich nicht total verrechnet) auf
1 < [mm] |x_{0} [/mm] + [mm] x_{1}| [/mm] bzw. [mm] \varepsilon_{0} [/mm] > [mm] \bruch{1}{ |x_{0} - x_{1} | } [/mm] . Aber hilft mir das? Wie beweise ich denn dadurch die Aussage? Sollte ich es vllt. stattdessen mit der Gegenbehauptung versuchen und sie zum Widerspruch führen?
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir mit einem Tipp weiterhelfen könntet!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Mo 02.01.2006 | | Autor: | moudi |
> [mm]f(x)=\begin{cases} x²+1, & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass f in [mm]x_{0}[/mm] = 0 nicht stetig ist, indem
> Sie zeigen, dass
> [mm]\exists \varepsilon_{0}[/mm] > 0, so dass [mm]\forall \delta[/mm] >
> 0 [mm]\exists x_{1} \in \IR[/mm] mit
> [mm]|x_{0}[/mm] - [mm]x_{1}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] und [mm]|f(x_{0})[/mm] - [mm]f(x_{1}| \ge \varepsilon_{0}.[/mm]
>
> Ich versuche mich an dieser Aufgabe seit einiger Zeit und
> komme nicht wirklcih weiter, weil wir dazu leider noch
> keine Bsp.-Aufgabe gerechnet haben. Ihr würdet mir sehr
> helfen, wenn ihr mir einen Tipp geben könntet, wie ich
> weitermachen muss.
> Zunächst mal, muss ich natürlich eine Fallunterscheidung
> machen. Habe mit [mm]x_{0}[/mm] = 0 angefangen:
Die Bedingung oben kannst du nur für [mm] $x_0=0$ [/mm] zeigen, in allen anderen Punkten ist die Funktion f stetig!
Ich würde [mm] $\varepsilon_0=\frac [/mm] 12$ wählen. Denn egal wie [mm] $x_1\neq [/mm] 0$ gewählt ist, immer gilt [mm] $f(x_1)-f(0)=x_1^2+1>\frac [/mm] 12$. Mehr brauchst du nicht zu zeigen.
mfG Moudi
> Dann sollen wir zeigen, dass
> [mm]|f(x_{0}-f(x_{1})[/mm] | [mm]\ge \varepsilon_{0}[/mm] (( also [mm]|x_{0}²+1[/mm]
> - [mm](x_{1}²+1)| \ge \varepsilon_{0}[/mm] )) und [mm]|x_{0}[/mm] - [mm]x_{1}[/mm] |
> < [mm]\delta[/mm] .
> Ursprünglich dachte ich, könnte ich jetzt einfach ein
> beliebiges [mm]\delta[/mm] wählen, also z.b. [mm]\delta[/mm] =
> [mm]\varepsilon_{0},[/mm] die zweite Gleichung mit der 3. bin. Form.
> erweitern und dann beide Gleichungen nach [mm]\varepsilon_{0}[/mm]
> gleichsetzen..
> Dann käme man (vorausgesetzt ich hab mich nicht total
> verrechnet) auf
> 1 < [mm]|x_{0}[/mm] + [mm]x_{1}|[/mm] bzw. [mm]\varepsilon_{0}[/mm] > [mm]\bruch{1}{ |x_{0} - x_{1} | }[/mm]
> . Aber hilft mir das? Wie beweise ich denn dadurch die
> Aussage? Sollte ich es vllt. stattdessen mit der
> Gegenbehauptung versuchen und sie zum Widerspruch führen?
>
> Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir mit einem Tipp
> weiterhelfen könntet!
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mo 02.01.2006 | | Autor: | revival |
Danke für deine Hilfe!
2 Fragen.
1.: Warum kann ich [mm] \varepsilon [/mm] einfach beliebig wählen? Das würde mir nur einleuchten, wenn die Voraussetzung wäre " [mm] \forall \varepsilon_{0}"..
[/mm]
2.: Ich kann nachvollziehen, wie du auf [mm] f(x_1)-f(0)=x_1^2+1>\bruch{1}{2} [/mm] kommst. Erhält man aber nicht eigentlich [mm] f(x_1)-f(0)=x_1^2+1 \ge \bruch{1}{2}. [/mm] wenn man es einsetzt?
Und eine rein formelle Frage noch:
Wenn ich bis zu besagter Zeile gekommen bin, kann ich dann einfach sagen "Gilt immer"? Schließlich ist es ja eigentlich einleuchtend, dass das Quadrat einer beliebigen Zahl größer ist als [mm] -\bruch{1}{2}.
[/mm]
Nochmal vielen Dank für deine Hilfe!
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Hallo
> Danke für deine Hilfe!
> 2 Fragen.
> 1.: Warum kann ich [mm]\varepsilon[/mm] einfach beliebig wählen?
> Das würde mir nur einleuchten, wenn die Voraussetzung wäre
> " [mm]\forall \varepsilon_{0}"..[/mm]
Wieso das denn? Für alle [mm] \varepsilon [/mm] braucht es eben nicht gelten, sondern für irgendeines und für 1/2 stimmt das eben!
> 2.: Ich kann nachvollziehen,
> wie du auf [mm]f(x_1)-f(0)=x_1^2+1>\bruch{1}{2}[/mm] kommst. Erhält
> man aber nicht eigentlich [mm]f(x_1)-f(0)=x_1^2+1 \ge \bruch{1}{2}.[/mm]
> wenn man es einsetzt?
Die Zahl, für die [mm] x^{2}+1 [/mm] am kleinsten wird ist x=0. Und für x=0 folgt:
[mm] 0^{2}+1=1>0,5
[/mm]
oder nicht?
> Und eine rein formelle Frage noch:
> Wenn ich bis zu besagter Zeile gekommen bin, kann ich dann
> einfach sagen "Gilt immer"? Schließlich ist es ja
> eigentlich einleuchtend, dass das Quadrat einer beliebigen
> Zahl größer ist als [mm]-\bruch{1}{2}.[/mm]
Wieso das? Das Quadrat von z.B. 0; 0,5 und unendlich vielen anderen Zahlen ist stets kleiner 0,5!
VG Daniel
>
> Nochmal vielen Dank für deine Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mo 02.01.2006 | | Autor: | revival |
Danke Daniel.
Eins noch zu deiner letzten Anmerkung:
"> Und eine rein formelle Frage noch:
> Wenn ich bis zu besagter Zeile gekommen bin, kann ich dann
> einfach sagen "Gilt immer"? Schließlich ist es ja
> eigentlich einleuchtend, dass das Quadrat einer beliebigen
> Zahl größer ist als - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Wieso das? Das Quadrat von z.B. 0; 0,5 und unendlich vielen anderen Zahlen ist stets kleiner 0,5! "
-> Natürlich, ich sprach aber von -0,5.
Womit meine Frage zur formellen Beantwortung noch offen bliebe.
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo revival!
Du meinst jetzt die Zeile [mm] $x^2+1 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] ?
Da kannst Du wirklich schreiben: "gilt immer (in [mm] $\IR$), [/mm] da [mm] $x^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ ".
[mm] $\Rightarrow$ $x^2+1 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0+1 \ = \ 1 \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
bzw. [mm] $x^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0 \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] -\bruch{1}{2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Mo 02.01.2006 | | Autor: | revival |
Danke, Loddar!
Das war sehr hilfreich!
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