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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Do 10.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | (a) Sei f:I = [a,b] -> [mm] \IR [/mm] stetig. Zeigen Sie, dass eine stetige Funktion g: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] existiert, für deren Einschränkung auf I gilt [mm] g|_{I} [/mm] = f.
(b) Finden Sie eine stetige Funktion f:I= (a,b) -> [mm] \IR, [/mm] so dass es keine stetige Funktion g: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gibt mit [mm] g|_{I} [/mm] =f.
(c) Es sei [mm] f:\IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] monoton wachsend und [mm] f(\IR) [/mm] = [mm] \IR_{>0} [/mm] = [mm] \{x \in \IR | x>0 \}. [/mm] Zeigen Sie, dass f stetig ist. |
Hallo,
ich habe bei dieser Aufgabe nicht einmal einen Ansatz. Würde mich freuen, wenn jemand einen kleinen Denkanstoß für mich hätte.
LG Loriot95
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Moin,
> (a) Sei f:I = [a,b] -> [mm]\IR[/mm] stetig. Zeigen Sie, dass eine
> stetige Funktion g: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] existiert, für deren
> Einschränkung auf I gilt [mm]g|_{I}[/mm] = f.
> (b) Finden Sie eine stetige Funktion f:I= (a,b) -> [mm]\IR,[/mm] so
> dass es keine stetige Funktion g: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] gibt mit
> [mm]g|_{I}[/mm] =f.
> (c) Es sei [mm]f:\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] monoton wachsend und [mm]f(\IR)[/mm] =
> [mm]\IR_{>0}[/mm] = [mm]\{x \in \IR | x>0 \}.[/mm] Zeigen Sie, dass f stetig
> ist.
> Hallo,
>
> ich habe bei dieser Aufgabe nicht einmal einen Ansatz.
> Würde mich freuen, wenn jemand einen kleinen Denkanstoß
> für mich hätte.
zu a)
f ist auf einen abgeschlossen Intervall definiert und stetig, d. h. f(a) und f(b) existieren. Dabei ist f(a) der rechtseitige GW für [mm] x\to [/mm] a und f(b) der linksseitige GW für [mm] x\to [/mm] b auf dem Intervall.
zu b) Wähle eine Funktion auf dem offenen Intervall I, die an den Rändern nicht stetig fortsetzbar ist.
>
> LG Loriot95
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Do 10.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Erst Mal vielen Dank für deine Antworten/Tipps.
> zu a)
> f ist auf einen abgeschlossen Intervall definiert und
> stetig, d. h. f(a) und f(b) existieren. Dabei ist f(a) der
> rechtseitige GW für [mm]x\to[/mm] a und f(b) der linksseitige GW
> für [mm]x\to[/mm] b auf dem Intervall.
Hm leider weiß ich nichts mit diesem Tipp wirklich anzufangen. Könntest du mir das genauer erklären?
> zu b) Wähle eine Funktion auf dem offenen Intervall I, die
> an den Rändern nicht stetig fortsetzbar ist.
Da wäre f:(-1,1) -> [mm] \IR, [/mm] f(x) = [mm] \bruch{1}{x^{2}-1} [/mm] ein Kandidat.
Zu c) den Begriff konvex hatten wir nicht. Es ist aber möglich das er hier verwendet werden soll. Ist eine Aufgabe aus einer Altklausur.
LG Loriot95
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Hallo,
> Erst Mal vielen Dank für deine Antworten/Tipps.
> > zu a)
> > f ist auf einen abgeschlossen Intervall definiert und
> > stetig, d. h. f(a) und f(b) existieren. Dabei ist f(a) der
> > rechtseitige GW für [mm]x\to[/mm] a und f(b) der linksseitige GW
> > für [mm]x\to[/mm] b auf dem Intervall.
> Hm leider weiß ich nichts mit diesem Tipp wirklich
> anzufangen. Könntest du mir das genauer erklären?
Du kannst die Funktion an den Rändern des Intervalls konstant fortsetzen.
> > zu b) Wähle eine Funktion auf dem offenen Intervall I, die
> > an den Rändern nicht stetig fortsetzbar ist.
> Da wäre f:(-1,1) -> [mm]\IR,[/mm] f(x) = [mm]\bruch{1}{x^{2}-1}[/mm] ein
> Kandidat. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zu c) den Begriff konvex hatten wir nicht.
My bad, Konvexität muss nicht vorliegen. Siehe andere Antwort 
>
> LG Loriot95
>
Gruß
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Hallo nochmal,
> (c) Es sei [mm]f:\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] monoton wachsend und [mm]f(\IR)[/mm] = [mm]\IR_{>0}[/mm] = [mm]\{x \in \IR | x>0 \}.[/mm] Zeigen Sie, dass f stetig ist.
Dazu:
Wegen der Monotonie kommen als Unstetigkeitsstellen nur Sprungstellen in Frage. Warum kann es solche nicht geben? (Es ist einfach)
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Do 10.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Zu a) und wie notiere ich das geschickt?
zu c) weil [mm] f(\IR) [/mm] = [mm] \IR_{>0} [/mm] gilt. Würde es Sprungstellen geben, so würden nicht alle Werte angenommen werden. Aber auch hier frage ich mich wie ich das am besten notieren.
Danke schon Mal.
LG Loriot95
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Hallo,
> Zu a) und wie notiere ich das geschickt?
[mm] g(x)=\begin{cases} f(a), &x< a \\ f(b), & x> b\\f(x), & x\in[a, b] \end{cases}
[/mm]
> zu c) weil [mm]f(\IR)[/mm] = [mm]\IR_{>0}[/mm] gilt. Würde es Sprungstellen
> geben, so würden nicht alle Werte angenommen werden. Aber
> auch hier frage ich mich wie ich das am besten notieren.
Über den links- und rechtsseitigen Grenzwert in jedem Punkt [mm] x_0. [/mm] Bei Sprungstellen sind beide verschieden.
Der linksseitige GW für [mm] x\to x_0- [/mm] ist [mm] $\geq [/mm] f(x)$ für alle [mm] x\leq x_0 [/mm] wegen Monotonie, analoges gilt für den rechtsseitigen GW [...]
>
> Danke schon Mal.
>
> LG Loriot95
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Do 10.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Alles klar. Vielen Dank. :)
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