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| Aufgabe | Es sei f : (a, b) → [mm] \IR [/mm] stetig. Wir definieren den Stetigkeitsmodul [mm] \nu_f [/mm] von f auf D durch [mm] \nu_f [/mm] : (0,∞) → [mm] \IR, [/mm]
[mm] \nu_f (\delta) [/mm] := sup{|f(x) − f(y)| : x, y ∈ D, |x − y| < [mm] \delta}
[/mm]
Beweisen Sie die folgenden Behauptungen:
(i) [mm] \nu_f [/mm] ist monoton wachsend.
(ii) [mm] \nu_f [/mm] ist subadditiv, d.h. für alle [mm] \delta, \delta [/mm] ' ∈ (0,∞) gilt [mm] \nu_f (\delta [/mm] + [mm] \delta [/mm] ') ≤ [mm] \nu_f (\delta) [/mm] + [mm] \nu_f (\delta [/mm] ').
(iii) f ist auf D genau dann gleichmäßig stetig, falls [mm] \limes \delta [/mm] → [mm] 0,\delta>0 [/mm]
[mm] \nu (\delta) [/mm] = 0. |
Hallo,
Ich habe Probleme mit der Aufgabe. i) und iii) hab ich bereits hinbekommen aber ii) hab ich keine Ahnung wie ich das mache. kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Mo 29.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe Probleme mit der Aufgabe. i) und iii) hab ich
> bereits hinbekommen aber ii) hab ich keine Ahnung wie ich
> das mache. kann mir jemand helfen?
Ich mach mal eine Richtung als Beispiel: man nehme an, es konvergiere, das heisst es gibt für alle [m]\varepsilon > 0[/m] ein [m]\delta' > 0[/m], so dass [m]\nu(\delta)<\varepsilon[/m] für alle [m]\delta<\delta'[/m]. Jetzt setze die Definition von [m]\nu[/m] ein - und da [m]\varepsilon[/m] beliebig war, folgt die gleichmäßige Stetigkeit.
Eine Frage noch: [m]\nu[/m] könnte doch prinzipiell auch unendlich große Werte angeben, oder ist dies vorher ausgeschlossen worden?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Mo 29.06.2009 | | Autor: | trixi28788 |
Nein das wurde nicht ausgeschlossen. Das es gleichmäßig stetig ist habe ich doch schon bewiesen. aber wie beweise ich ii)?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Mo 29.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> Nein das wurde nicht ausgeschlossen. Das es gleichmäßig
> stetig ist habe ich doch schon bewiesen. aber wie beweise
> ich ii)?
Ach so, ja. Das ist aber auch ziemlich einfach: überlege dir, dass für [m]|x-y|<\delta+\delta'[/m] ein z existiert mit [m]|x-z|<\delta[/m] und [m]|z-y|<\delta'[/m]. Damit führe die Dreiecksungleichung auf [m]|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|[/m] aus - und dann steht es fast schon da.
SEcki
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