Stetigkeitsuntersuchung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Move |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Stetigkeit in ihrem Definitionsbereich:
[mm] f(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}, [/mm] falls [mm] x\ne [/mm] 1
[mm] \frac{1}{2} [/mm] sonst |
Hallo erstmal, bin neu hier. ;)
Kaum hat das neue Jahr angefangen, muss ich mich schon wieder mit Matheaufgaben rumschlagen.
Bei dieser Aufgabe weiß ich nicht, wie ich das angehen soll. Verwenden dürfen wir das Epsilon-Delta-Kriterium und das Folgenkriterium.
Ich habe versucht, |f(x)-f(y)| so umzuformen, dass da steht [mm] |f(x)-f(y)|<\epsilon. [/mm] Aber ich konnte das Ding nicht auf eine Form bringen, sodass das [mm] \epsilon [/mm] unabhängig von y ist (muss es doch, oder?). Wie man da mit Folgen argumentieren kann, weiß ich überhaupt nicht.
Könnte mir bitte mal jemand einen kleinen Anstoß geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Move,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Ein kleiner Tipp zum Umformen. Es gilt:
$$x-1 \ = \ [mm] \left( \ \wurzel{x}+1 \ \right)*\left( \ \wurzel{x}-1 \ \right)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Move |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Was ich vergessen habe zu erwähnen (bzw. ist es mir selbst gerade eben erst aufgefallen...) ist, dass wir auch einen Satz hatten, nachdem [mm] \frac{g(x)}{f(x)} [/mm] stetig ist, wenn f und g zwei stetige funktionen sind und [mm] f\ne [/mm] 0. Damit muss man ja nur zeigen, dass [mm] g(x)=\sqrt{x}-1 [/mm] und f(x)=x-1 für [mm] x\ne [/mm] 1 stetig sind, oder?
Mit deinem Tipp habe ich die Stetigkeit in x=1 folgendermaßen gezeigt: [mm] |f(x)-f(1)|=|\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}-\frac{1}{2}|=|\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}-\frac{1}{2}|=|\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{2}|=|\frac{2-(\sqrt{x}+1)}{2(\sqrt{x}+1)}|<\frac{2}{\sqrt{x}} \delta<\epsilon
[/mm]
Wähle also [mm] \delta=\epsilon\frac{\sqrt{x}}{2}. [/mm] Dann ist f stetig in x=1.
Ist das so weit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Fr 02.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Move
es ist völlig unklar, wie plötzlich das [mm] \delta [/mm] auftaucht. wo hast du das her? es geht doch um [mm] 1-\delta
Gruss leduart
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Es ist doch sehr interessant wie viele Kommilitonen man hier trifft. Ich habe die Aufgabe leider selbst noch nicht ganz gelöst, jedoch bin ich der Meinung, dass diese Funktion nicht nur stetig sondern gleichmäßig stetig ist. Konnte dies durch die Vererbung [mm] $\frac{g(x)}{f(x)}$ [/mm] und [mm] $\inf [/mm] f(x) [mm] \neq [/mm] 0$ auch schon für $x [mm] \neq [/mm] 1$ zeigen, jedoch nicht für $x =1$. Meine Idee war es dort die lokale Lipschitz-Stetigkeit nachzuweisen, weiß jedoch nicht ob das korrekt ist, bzw. wie genau ich das schaffen werde.
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