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| Aufgabe | In dieser Aufgabe betrachten wir die Population von Noten von Studenten. Angenommen, wir haben 81 Studenten, welche zufällig aus einer Gesamtmenge von 10.000 ausgewählt wurden. Wir möchten nun die Verteilung des Mittelwertes und der Varianz einer zufälligen Stichprobe (kleiner als 81) ermitteln und einen Hypothesentest durchführen. Wir gehen von einer Zufallsstichprobe mit Zurücklegen aus.
1) Berechnen Sie den Mittelwert, die Varianz, und die Standardabweichung dieser Verteilung.
2) Erstellen Sie mithilfe von Matlab 1000 Zufallsmengen mit jeweils 10 Stichproben. Erstellen Sie dann ein Histogramm der Verteilung des Stichprobenmittels für n = 10.
3) Vergrößern Sie die Stichprobengröße von 10 auf 40 und wiederholen Sie Aufgabe 2. Vergleichen Sie die Form der Stichprobenverteilung und diskutieren Sie, wie die Stichprobengröße die Verteilung beeinflusst.
4) Betrachten Sie die 81 Studenten nun als eine Zufallsstichprobe aus 10.000 und nehmen Sie an, dass die Noten der gesamten Population normalverteilt sind. Testen Sie die Behauptung, dass der Mittelwert aller 10.000 Studentennoten 64 berägt (Signifikanzniveau: 0.05) |
Hallo zusammen!
Die Originalfragen sind auf Englisch gestellt worden, ich habe sie in (holpriges  ) Deutsch übersetzt und würde mich freuen, wenn Ihr mir Rückmeldung zu meinen Lösungen geben könntet. Die in der Aufgabenstellung erwähnten Noten sind ganzzahlige Werte zwischen 0 und 100.
1)
[mm]\bar{x} = \frac{1}{n} \times \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{81} \times \sum_{i=1}^{81} x_i = \frac{1}{81} \times 5564 = 68.69[/mm]
[mm]s^2 = \frac{1}{n-1} \times \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{80} \times \sum_{i=1}^{81} (x_i - 68.69) = 264.29[/mm]
[mm]\sigma = \sqrt{s^2} = \sqrt{264.29} = 16.26[/mm]
2)
[Dateianhang nicht öffentlich]
3)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ein Vergleich der Histogramme aus dieser und der vorigen Aufgabe unter Inbetrachtziehung des Zentralen Grenzwertsatzes zeigt, dass eine Vergrößerung der Stichprobe die Verteilung der Stichprobenmittel mehr und mehr normalverteilt werden lässt. Würde man die Stichproben (theoretisch) unendlich oft schrittweise vergrößern, dann würde die Stichprobenverteilung die Form einer Normalverteilung und ihr Mittelwert den Mittelwert der Population annehmen. Außerdem verringert sich mit jeder Iteration die Fehlerrate der Stichprobenverteilung. Diese Erkenntnisse legen nahe, dass das Stichprobenmittel eine gute Abschätzung des Mittelwertes der Population darstellt.
4)
[mm]H_0: \mu = 64[/mm]
[mm]H_1: \mu \neq 64[/mm]
Testgröße:
[mm]H_z = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{4.69}{1.81} = 2.59[/mm]
Zweiseitiger Hypothesentest => laut z-Tabelle beträgt der z-Wert [mm]1.96[/mm].
[mm]H_z[/mm] befindet sich in der kritischen Region, denn:
[mm]H_z = 2.59 > 1.96 = z[/mm]
Die Behauptung muss also zurückgewiesen werden.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Mi 08.02.2017 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Deine Rechnungen sehen soweit gut aus, allerdings - und das verwundert mich gerade sehr - ist mir gerade nicht klar, was die [mm] x_{i} [/mm] sein sollen, die du aufsummierst, und damit dann auf [mm] \sum\limits_{i=1}^{81}\red{x_{i}}=5564 [/mm] kommst.
Alles andere ist soweit nachvollziehbar und gut.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Mi 08.02.2017 | | Autor: | stebue |
Die [mm] $x_i$ [/mm] stellen die etwas seltsamen Noten dar. Sie liegen zwischen 0 und 100 (gemäss Anmerkung des Autors). Es wäre nützlich, wenn alle 81 Werte angegeben wären.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Fr 10.02.2017 | | Autor: | Apfelchips |
Danke für die Rückmeldung. Die Noten sind letztlich Prozentangaben und [mm] x_i [/mm] steht für die Note von Student i (die Stichprobe besteht ja aus Noten von Studenten.)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 So 12.02.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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