Stoch. Prozess as W-Maß < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:22 Do 16.02.2023 | | Autor: | Jellal |
Guten Abend,
ich habe angefangen, im Oksendal zu lesen und bin an folgender Stelle haengen geblieben.
Wir haben einen W-Raum [mm] (\Omega, \mathcal{F}, [/mm] P) und einen stochastischen Prozess [mm] (X_{t})_{t\in T} [/mm] darin, der Werte im [mm] \IR^{n} [/mm] annimmt.
Nun werden ein paar einfache Sachen gesagt, zB. dass fuer festes [mm] t\in [/mm] T, [mm] X_{t}(\omega) [/mm] eine Zufallsvariable ist [mm] (\omega \in \Omega), [/mm] oder dass man fuer festes [mm] \omega [/mm] die Abbildung t [mm] \mapsto X_{t}(\omega) [/mm] als Pfad des Prozesses bezeichnet.
Am Ende wird gesagt, dass man mit [mm] \omega \in \Omega [/mm] die Funktion t [mm] \mapsto X_{t}(\omega) [/mm] assoziieren kann. Daher koenne man [mm] \Omega [/mm] auch als Teilmenge von [mm] \tilde{\Omega}:=(\IR^{n})^{T} [/mm] der Menge der Funktionen von T nach [mm] \IR^{n} [/mm] auffassen.
Das verstehe ich noch. Wenn man sich vorstellt, dass man statt von [mm] \omega [/mm] von dem Pfad [mm] X_{t}(\omega) [/mm] redet, der ja eine Abbildung von T nach [mm] \IR^{n} [/mm] ist, dann ist [mm] \Omega [/mm] in dem Kontext eine Teilmenge aller Funktionen von T nach [mm] \IR^{n}.
[/mm]
Nun wird gesagt, dass die Sigma-Algebra [mm] \mathcal{F} [/mm] dann die Sigma-Algebra [mm] \mathcal{B} [/mm] enthaelt, die generiert wird von Mengen der Form [mm] \{\omega : \omega(t_{1})\in F_{1}, \omega(t_{2})\in F_{2},... \omega(t_{k}) \in F_{k} \}, [/mm] mit [mm] F_{i}\in \IR^{n} [/mm] als Borel-Mengen.
Hierbei ist [mm] \mathcal{B} [/mm] die Borel-Sigma-Algebra auf [mm] \tilde{\Omega}, [/mm] und T=[0, [mm] \infty), [/mm] und [mm] \tilde{\Omega} [/mm] ist gegeben durch die Produkt-Topologie.
Dann koenne man den stochastischen Prozess auch auffassen als W-Maß P auf dem Maßraum [mm] ((\IR^{n})^{T}, \mathcal{B}).
[/mm]
Hier verstehe ich nur noch Bahnhof.
Erst mal, was ist mit [mm] \omega(t_{i}) [/mm] gemeint?
Kann man den Abschnitt vielleicht etwas kleinschrittiger aufschreiben?
vG.
Jellal
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Hiho,
> Erst mal, was ist mit [mm]\omega(t_{i})[/mm] gemeint?
Es wurde ja vorher gesagt, dass man [mm] \Omega [/mm] auffasen kann, als Teilmenge von [mm] $\tilde{\Omega}:=(\IR^{n})^{T} [/mm] $ (das ist dir klar?).
D.h. aber insbesondere, dass jedes [mm] $\omega$ [/mm] selbst ein Element ist von [mm] $\tilde{\Omega}$ [/mm] und somit eine Abbildung von $T$ nach [mm] $\IR^n$, [/mm] also [mm] $\omega: [/mm] T [mm] \to \IR^n$.
[/mm]
Insbesondere gilt also für jedes $t [mm] \in [/mm] T$, dass [mm] $\omega(t) \in \IR^n$ [/mm] und wir können uns die Frage stellen, ob die Menge [mm] $\{\omega(t) \in F\}$ [/mm] für $F [mm] \in \mathcal{B}(\IR^n)$ [/mm] ebenfalls wieder meßbar ist.
Letztendlich stellen wir uns dann also die Frage: Ist [mm] $\omega: [/mm] T [mm] \to \IR^n$ [/mm] eine meßbare Funktion, also eine Zufallsvariable.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Do 16.02.2023 | | Autor: | Jellal |
Hi Gono,
danke dir fuer die Antwort!
> Es wurde ja vorher gesagt, dass man [mm]\Omega[/mm] auffasen kann,
> als Teilmenge von [mm]\tilde{\Omega}:=(\IR^{n})^{T}[/mm] (das ist
> dir klar?).
> D.h. aber insbesondere, dass jedes [mm]\omega[/mm] selbst ein
> Element ist von [mm]\tilde{\Omega}[/mm] und somit eine Abbildung von
> [mm]T[/mm] nach [mm]\IR^n[/mm], also [mm]\omega: T \to \IR^n[/mm].
So ganz rigoros ist das aber nicht, oder? Zweifelsohne gibt es eine Bijektion zwischen [mm] \Omega [/mm] zu [mm] \{X_{t}(\omega): \omega \in \Omega \}\subset \tilde{\Omega}=(\IR^{n})^{T}. [/mm] Aber dadurch wird [mm] \omega [/mm] selbst doch nicht zu einer Funktion.
> Insbesondere gilt
> also für jedes [mm]t \in T[/mm], dass [mm]\omega(t) \in \IR^n[/mm] und wir
> können uns die Frage stellen, ob die Menge [mm]\{\omega(t) \in F\}[/mm]
> für [mm]F \in \mathcal{B}(\IR^n)[/mm] ebenfalls wieder meßbar ist.
Das heißt fuer fixes t betrachten wir die Menge [mm] \{\omega: \omega(t)\in F\} [/mm] fuer beliebige F [mm] \in \mathcal{B}(\IR^n) [/mm] und schauen, ob diese Menge in [mm] \mathcal{F} [/mm] liegt?
> Letztendlich stellen wir uns dann also die Frage: Ist
> [mm]\omega: T \to \IR^n[/mm] eine meßbare Funktion, also eine
> Zufallsvariable.
Den Zusammenhang versteh ich wieder nicht. Fuer die Messbarkeit der Funktion [mm] \omega: [/mm] T [mm] \to \IR^{n} [/mm] muss [mm] \omega^{-1}(F) [/mm] mit [mm] F\in \mathcal{B}(\IR^n) [/mm] in der Sigma-Algebra liegen, die wir mit T assoziieren (das waere doch dann sicher [mm] \mathcal{B}(T), [/mm] oder?).
Dann waere [mm] \omega [/mm] eine messbare Funktion, aber die Rolle der Messbarkeit bzgl. [mm] \mathcal{F} [/mm] sehe ich immer noch nicht.
Und um [mm] \omega: [/mm] T [mm] \to \IR^{n} [/mm] im anschaulichen Sinne als "Zufallszahl" akzeptieren zu koennen, muesste ich auch anfangen, die Menge T nicht mehr als einfache Zeitachse zu betrachten, sondern ebenfalls als Wahrscheinlichkeitsraum... Verwirrend...
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Hiho,
> So ganz rigoros ist das aber nicht, oder? Zweifelsohne gibt
> es eine Bijektion zwischen [mm]\Omega[/mm] zu [mm]\{X_{t}(\omega): \omega \in \Omega \}\subset \tilde{\Omega}=(\IR^{n})^{T}.[/mm]
> Aber dadurch wird [mm]\omega[/mm] selbst doch nicht zu einer Funktion.
Was du sagst, ist formalmathematisch korrekt.
Man identifiziert [mm] $\omega$ [/mm] mit der zugehörigen Abbildung $t [mm] \to X_t(\omega)$, [/mm] die aber eindeutig definiert, d.h. eine Bijektion, ist.
Allerdings macht man das ja in der Stochastik öfter (und nicht nur da  )
Es ist aber gut, sich darüber im Klaren zu sein.
> Das heißt fuer fixes t betrachten wir die Menge [mm]\{\omega: \omega(t)\in F\}[/mm]
> fuer beliebige F [mm]\in \mathcal{B}(\IR^n)[/mm] und schauen, ob
> diese Menge in [mm]\mathcal{F}[/mm] liegt?
Ja, wobei im Oksendal eben nicht nur ein Fixes $t [mm] \in [/mm] T$ betrachtet wird, sondern $k$ Stück.
> > Letztendlich stellen wir uns dann also die Frage: Ist
> > [mm]\omega: T \to \IR^n[/mm] eine meßbare Funktion, also eine
> > Zufallsvariable.
> Den Zusammenhang versteh ich wieder nicht. Fuer die
> Messbarkeit der Funktion [mm]\omega:[/mm] T [mm]\to \IR^{n}[/mm] muss
> [mm]\omega^{-1}(F)[/mm] mit [mm]F\in \mathcal{B}(\IR^n)[/mm] in der
> Sigma-Algebra liegen, die wir mit T assoziieren (das waere
> doch dann sicher [mm]\mathcal{B}(T),[/mm] oder?).
> Dann waere [mm]\omega[/mm] eine messbare Funktion, aber die Rolle
> der Messbarkeit bzgl. [mm]\mathcal{F}[/mm] sehe ich immer noch
> nicht.
Ja, das ist für das weitere Vorgehen im Oksendal auch nicht relevant.
Wo er eigentlich drauf hinauswill, ist folgendes:
Wir haben ein stochastischen Prozess [mm] $\{X_t\}_{t \in T}$.
[/mm]
Nun betrachtet er die endlichdimensionalen Randverteilungen [mm] $\{X_{t_1} \in F_1, \ldots, X_{t_k} \in F_k\}$
[/mm]
und rechtfertigt mit der Schreibweise [mm] $\omega(t_1)$ [/mm] für [mm] $X_{t_1}(\omega)$ [/mm] die Schreibweise [mm] $\{\omega | \omega(t_1) \in F_1, \ldots, \omega(t_k) \in F_k\}$ [/mm] um klar zu machen, dass [mm] $\{X_{t_1} \in F_1, \ldots, X_{t_k} \in F_k\}$ [/mm] in [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] liegt (das war aber mMn auch vorher schon klar, warum?), und daher mit $P$ gemessen werden kann.
Das gibt dir die Familie der endlich-dimensionalen Randverteilungen.
Gilt aber auch die Umkehrung?
D.h. gibt es zu jeder Familie von endlich-dimensionalen Randverteilungen einen stochastischen Prozess, der diese Familie als Randverteilungen hat?
Und da lautet die Antwort (Theorem 2.1.5.): Ja!
> Und um [mm]\omega:[/mm] T [mm]\to \IR^{n}[/mm] im anschaulichen Sinne als
> "Zufallszahl" akzeptieren zu koennen, muesste ich auch
> anfangen, die Menge T nicht mehr als einfache Zeitachse zu
> betrachten, sondern ebenfalls als
> Wahrscheinlichkeitsraum... Verwirrend...
Naja… eine Zufallsvariable heißt ja nicht Zufallsvariable, weil sie zufällig ist. Das solltest du dir sowieso abgewöhnen. Sie heißt Zufallsvariable, weil sie den Zufall modellieren kann.
Nimm doch einfach mal die Identität $id: [0,1] [mm] \to [/mm] [0,1]$. Das ist eine vorzügliche Zufallsvariable, sogar auf einer Zeitachse, wenn man [0,1] als Zeit betrachtet…aber zufällig ist da eher weniger…
Gruß,
Gono
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:36 Fr 17.02.2023 | | Autor: | Jellal |
Hi Gono!
> Was du sagst, ist formalmathematisch korrekt.
> Man identifiziert [mm]\omega[/mm] mit der zugehörigen Abbildung [mm]t \to X_t(\omega)[/mm],
> die aber eindeutig definiert, d.h. eine Bijektion, ist.
> Allerdings macht man das ja in der Stochastik öfter (und
> nicht nur da )
> Es ist aber gut, sich darüber im Klaren zu sein.
Ok, danke fuer die Bestaetigung!
> Ja, das ist für das weitere Vorgehen im Oksendal auch
> nicht relevant.
> Wo er eigentlich drauf hinauswill, ist folgendes:
>
> Wir haben ein stochastischen Prozess [mm]\{X_t\}_{t \in T}[/mm].
>
> Nun betrachtet er die endlichdimensionalen Randverteilungen
> [mm]\{X_{t_1} \in F_1, \ldots, X_{t_k} \in F_k\}[/mm]
> und
> rechtfertigt mit der Schreibweise [mm]\omega(t_1)[/mm] für
> [mm]X_{t_1}(\omega)[/mm] die Schreibweise [mm]\{\omega | \omega(t_1) \in F_1, \ldots, \omega(t_k) \in F_k\}[/mm]
> um klar zu machen, dass [mm]\{X_{t_1} \in F_1, \ldots, X_{t_k} \in F_k\}[/mm]
> in [mm]\mathcal{F}[/mm] liegt (das war aber mMn auch vorher schon
> klar, warum?),
Naja, fuer jedes [mm] t\in [/mm] T ist [mm] X_{t} [/mm] eine Zufallsvariable. Das heißt fuer jedes [mm] F\in\mathcal{B}(\IR^{n}) [/mm] gilt [mm] X_{t}^{-1}(F)\in \mathcal{F}. [/mm] Wenn ich mit [mm] \omega(t) [/mm] einfach [mm] X_{t}(\omega) [/mm] meine, dann ist doch [mm] \{\omega| \omega(t)\in F\}=\{\omega| X_{t}(\omega)\in F\}=X_{t}^{-1}(F)\in \mathcal{F}.
[/mm]
> und daher mit [mm]P[/mm] gemessen werden kann.
> Das gibt dir die Familie der endlich-dimensionalen
> Randverteilungen.
Also die endlich-dimensionale Randverteilung meint die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen, die ich erhalte, wenn ich mir den Prozess an k verschiedenen Werten [mm] t_{i}\in [/mm] T, i=1,..,k anschaue, also von [mm] (X_{t_{1}},...,X_{t_{k}})?
[/mm]
Nur ist das doch alles auch ohne diese [mm] \omega(t) [/mm] Gehirnakrobatik machbar...
> Gilt aber auch die Umkehrung?
> D.h. gibt es zu jeder Familie von endlich-dimensionalen
> Randverteilungen einen stochastischen Prozess, der diese
> Familie als Randverteilungen hat?
> Und da lautet die Antwort (Theorem 2.1.5.): Ja!
Ja, das kommt als naechstes....
> Naja… eine Zufallsvariable heißt ja nicht
> Zufallsvariable, weil sie zufällig ist. Das solltest du
> dir sowieso abgewöhnen. Sie heißt Zufallsvariable, weil
> sie den Zufall modellieren kann.
>
> Nimm doch einfach mal die Identität [mm]id: [0,1] \to [0,1][/mm].
> Das ist eine vorzügliche Zufallsvariable, sogar auf einer
> Zeitachse, wenn man [0,1] als Zeit betrachtet…aber
> zufällig ist da eher weniger…
Das macht Sinn!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:49 So 19.02.2023 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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