Stochastik < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Sa 11.09.2021 | | Autor: | knorki7 |
| Aufgabe | Auf dem Schulfest möchte die Jahrgangsstufe 11 ihre Abiturkasse mithilfe eines Glückspiels aufbessern und hat sich hierfür ein außergewöhnliches Spiel einfallen lassen: „Würfeln mit Schweinen“. Im Vorfeld haben die Schüler hierfür durch sehr häufiges Werfen ermittelt, wie groß die Wahrscheinlichkeiten für die Wurfergebnisse „Schnauze“, „Beine“, „Rücken“ und „Seite“ sind und davon ausgehend Punkte für die verschiedenen Ergebnisse vergeben:
Schnauze; p=0,04; 10 Punkte
Beine; p=0,08 ; 5 Punkte
Rücken; p=0,24 ; 3 Punkte
Seite; p=0,64 ; 1 Punkt
Der Einsatz zum spielen beträgt 5€. Gewürfelt wird mit zwei Schweinen und die Punktzahl wird in € ausgezahlt.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung
c) Interpretieren Sie die beiden Größen im Sachzusammenhang. |
a) Hier komme ich gut klar. P(x=2)=0,4096 ; P(x=4)=0,3072 ; P(x=6)=0,16 usw...
b) Hier komme ich auch klar: E(x) = -5 + 2*0,4096 + 4*0,3072 + 6*0,16 ... = -0,68 [hoffe ist kein Tippfehler drin]
o = sqrt [ [mm] (2-(-0,68))^2 [/mm] * 0,4096 + ... ] = 33,2688
c) Den Erwartungswert kann ich soweit noch interpretieren, im Schnitt macht die Klasse mit dem Spiel 0,68€ Verlust pro Spiel. Also keine gute Idee.
Wie interpretiere ich aber die standardabweichung? Ich weiß, dass nun das Ergebnis in € um 33,2688€ um den Mittelwert herum streut. Aber was heißt das konkret?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:43 So 12.09.2021 | | Autor: | statler |
Hi!
> Auf dem Schulfest möchte die Jahrgangsstufe 11 ihre
> Abiturkasse mithilfe eines Glückspiels aufbessern und hat
> sich hierfür ein außergewöhnliches Spiel einfallen
> lassen: „Würfeln mit Schweinen“. Im Vorfeld haben die
> Schüler hierfür durch sehr häufiges Werfen ermittelt,
> wie groß die Wahrscheinlichkeiten für die Wurfergebnisse
> „Schnauze“, „Beine“, „Rücken“ und „Seite“
> sind und davon ausgehend Punkte für die verschiedenen
> Ergebnisse vergeben:
>
> Schnauze; p=0,04; 10 Punkte
>
> Beine; p=0,08 ; 5 Punkte
>
> Rücken; p=0,24 ; 3 Punkte
>
> Seite; p=0,64 ; 1 Punkt
>
> Der Einsatz zum spielen beträgt 5€. Gewürfelt wird mit
> zwei Schweinen und die Punktzahl wird in € ausgezahlt.
>
> a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung
> b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die
> Standardabweichung
> c) Interpretieren Sie die beiden Größen im
> Sachzusammenhang.
> a) Hier komme ich gut klar. P(x=2)=0,4096 ; P(x=4)=0,3072
> ; P(x=6)=0,16 usw...
>
> b) Hier komme ich auch klar: E(x) = -5 + 2*0,4096 +
> 4*0,3072 + 6*0,16 ... = -0,68 [hoffe ist kein Tippfehler
> drin]
Das ist jetzt der Erwartungswert aus Sicht des Teilnehmers und nicht des Veranstalters.
>
> o = sqrt [ [mm](2-(-0,68))^2[/mm] * 0,4096 + ... ] = 33,2688
Der Buchstabe für die Standardabweichung ist [mm] $\sigma$.
[/mm]
>
> c) Den Erwartungswert kann ich soweit noch interpretieren,
> im Schnitt macht die Klasse mit dem Spiel 0,68€ Verlust
> pro Spiel. Also keine gute Idee.
Das sehe ich anders, s. o.
>
> Wie interpretiere ich aber die standardabweichung? Ich
> weiß, dass nun das Ergebnis in € um 33,2688€ um den
> Mittelwert herum streut. Aber was heißt das konkret?
Diese Zahl kann ich kaum glauben, weil der Maximalgewinn ja nur 15 € beträgt. Da ist anscheinend was schiefgegangen. Ich habe aber nichts nachgerechnet.
Gruß
Dieter
Nachtrag: Dein Erwartungswert ist der Erwartungswert des Gewinns aus Sicht des Teilnehmers. Dann solltest du auch die Standardabweichung des Gewinns berechnen, du hast aber die Auszahlungen (2, 4, 6 usw.) genommen. (Das macht im Ergebnis nichts, weil die Varianz einer Zufallsvariablen translationsinvariant ist.) Aber dann hast du vergessen, die Wurzel zu ziehen. Also ist [mm] $\sigma \approx [/mm] 5,7679$. Damit kannst du dann angeben, in welchem Bereich die Masse der Auszahlungen bzw. der Gewinne liegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Mo 13.09.2021 | | Autor: | knorki7 |
Stimmt, habe es auch nochmal nachgerechnet, habe einfach vergessen die Wurzel zu ziehen zum Schluss so komme ich auch auf das Ergebnis nun.
Und ja, habe es aus der falschen Sicht berechnet! Muss es beim Erwartungswert natürlich dann andersherum machen von den Vorzeichen her, wer lesen kann ist klar im Vorteil ;)
Aber mir ist noch nicht 100%tig klar, was nun die Standardabweichung aussagt.
Was bedeutet es, wenn ich weiß die Masse der Auszahlungen liegt dort?
Also bei -0,68 plus/minus 5,77?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Mo 13.09.2021 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Aber mir ist noch nicht 100%tig klar, was nun die
> Standardabweichung aussagt.
> Was bedeutet es, wenn ich weiß die Masse der Auszahlungen
> liegt dort?
>
> Also bei -0,68 plus/minus 5,77?
In diesem Fall sagt dir die Standardabweichung nichts, was du nicht sowieso schon weißt, weil du ja die Verteilung (der Zufallsvariablen) genau kennst, du hast sie ja berechnet.
Anders wäre es, wenn du nur den Erwartungswert und die Standardabweichung hättest, dann könntest du z. B. mit der Tschebyscheffschen Ungleichung die Wahrscheinlichkeit hoher Gewinne abschätzen.
Hier würdest du wohl am besten einfach das hinschreiben, was dein Lehrer da gerne lesen will. Einen besseren Rat weiß ich nicht, deswegen lasse ich das mal auf 'teilweise beantwortet', vielleicht hat ein anderer Leser einen guten Vorschlag.
Gruß Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 15.09.2021 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Auf dem Schulfest möchte die Jahrgangsstufe 11 ihre
> Abiturkasse mithilfe eines Glückspiels aufbessern und hat
> sich hierfür ein außergewöhnliches Spiel einfallen
> lassen: „Würfeln mit Schweinen“. Im Vorfeld haben die
> Schüler hierfür durch sehr häufiges Werfen ermittelt,
> wie groß die Wahrscheinlichkeiten für die Wurfergebnisse
> „Schnauze“, „Beine“, „Rücken“ und „Seite“
> sind und davon ausgehend Punkte für die verschiedenen
> Ergebnisse vergeben:
>
> Schnauze; p=0,04; 10 Punkte
>
> Beine; p=0,08 ; 5 Punkte
>
> Rücken; p=0,24 ; 3 Punkte
>
> Seite; p=0,64 ; 1 Punkt
>
> Der Einsatz zum spielen beträgt 5€. Gewürfelt wird mit
> zwei Schweinen und die Punktzahl wird in € ausgezahlt.
>
> a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung
> b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die
> Standardabweichung
> c) Interpretieren Sie die beiden Größen im
> Sachzusammenhang.
> a) Hier komme ich gut klar. P(x=2)=0,4096 ; P(x=4)=0,3072
> ; P(x=6)=0,16 usw...![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ich weiß nicht, wie du auf die Zahlen 2,4,6... für x kommst, genau so wenig wie auf 0,4096, 0,3072 und 0,16.
Wenn man 10, 5, 3 oder 1 € gewinnen kann, hat x die Werte 10, 5, 3 oder 1.
X p(x) x*p(x) [mm] x^2*p(x)
[/mm]
------------------------------------------
10 0,04 0,4 alles noch mal 4
5 0,08 0,4 ------------> 2
3 0,24 0,72 mal x nehmen 2,16
1 0,64 0,64 0,64
------------------------------------------
[mm] \Sigma [/mm] 1,00 2,16 = E(x) [mm] \underbrace{ 8,8 - (E(x))^2 = 4,1344 = Var(x)}
[/mm]
[mm] \uparrow [/mm]
Verschiebungssatz, geht so am einfachsten
[mm] \sigma \approx [/mm] 2,0333
> b) Hier komme ich auch klar: E(x) = -5 + 2*0,4096 +
> 4*0,3072 + 6*0,16 ... = -0,68 [hoffe ist kein Tippfehler
> drin]
>
> o = sqrt [ [mm](2-(-0,68))^2[/mm] * 0,4096 + ... ] = 33,2688
>
> c) Den Erwartungswert kann ich soweit noch interpretieren,
> im Schnitt macht die Klasse mit dem Spiel 0,68€ Verlust
> pro Spiel. Also keine gute Idee.
Der Spieler macht im Schnitt 2,84 € Verlust, die Klasse bekommt also pro Spiel im Schnitt 2,84 €, und das ist doch gut für die Klassenkasse, die ja gerade dadurch aufgepeppt werden soll.
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> Wie interpretiere ich aber die standardabweichung? Ich
> weiß, dass nun das Ergebnis in € um 33,2688€ um den
> Mittelwert herum streut. Aber was heißt das konkret?
[mm] \sigma [/mm] ist ein Streumaß. Es sagt dir, dass in etwa 68 % der Ereignisse die Abweichung nicht mehr als 2 € vom Erwartungswert liegt. Da du nicht weniger als 1 € gewinnen kannst, ist eine Abweichunn vom Erwartungswert 2,16 € um 2,0333 € nach unten sinnlos. Das liegt an der "Schieflage² der Verteilung. [mm] \sigma [/mm] ist also eine rein statistische Größe.
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> Grüße
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