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Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim zufälligen Eintün von
a) acht Briefen genau drei im korrekten Umschlag landen
meine Üerlegung: (8 über 3) = 56, also 1/56
b) n größer 10 Briefen genau einer im korrekten Umschlag landet.
muss man da was mit dem limes machen???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Di 22.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Björn!
Man kann allgemein mit Hilfe der Siebformel zeigen (eventuell mache ich oder jemand anders das auch noch):
Beschreibt [mm] $X_n$ [/mm] die Anzahl der Fixpunkte einer stochastischen Permutation von $n$ Elementen, so gilt:
[mm] $P(X_n=k) [/mm] = [mm] \frac{1}{k!} \sum\limits_{r=0}^{n-k} \frac{(-1)^r}{r!}$
[/mm]
für [mm] $k=0,1,\ldots,n$.
[/mm]
> Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim zufälligen
> Eintün von
>
> a) acht Briefen genau drei im korrekten Umschlag landen
Hier ist mit obiger Formel [mm] $P(X_8 [/mm] = 3)$ zu berechnen.
> b) n größer 10 Briefen genau einer im korrekten Umschlag
> landet.
Warum $n>10$? Verstehe ich nicht. Hier ist in jedem Fall mit obiger Formel [mm] $P(X_n=1)$ [/mm] zu berechnen.
> muss man da was mit dem limes machen???
Ja, vielleicht ist das dann gemeint...
Versuche es mal.
Liebe Grüße
Stefan
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ok, zu a)
a(8)= 8!-(8!/1!)+(8!/2!)-(8!/3!)+(8!/4!)-(8!/5!)=11/30
P'=a(n)/n!=11/30
Unsere gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also:
P= 1-(11/30)=19/30
zu b)
komplementär: n=10
a(n)= 10!-....-(10!/9!)=1334960
p'= a(10)/10!= 16687/45360
P=1-P'=28673/45360
einverstanden????
der limes geht stets gegen 0,63...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Do 24.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Björn!
Ich verstehe gerade deine Lösung nicht.
Meine Formel hast du jedenfalls nicht benutzt.
Was ist denn bei dir $a(n)$? Hast du da eine andere Formel? Und warum berechnest du anschließend die Komplementärwahrscheinlichkeit?
Vielleicht ist mein Ansatz falsch und deine Antwort richtig. Dann verstehe ich sie aber leider nicht.
Du vielleicht, Brigitte?
Liebe Grüße
Stefan
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hallo, ich dachte ich könnte ...
Laut einem Satz aus einem Lehrbuch gilt:
Die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge ohne Fixpunkte ist gleich
n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! +- ... +(-1)n*n!/n!
Der Beweis, den ich hier nicht aufschreiben will, geht über die Siebformel.
Für die gesuchte Anzahl aller Permutationen ohne Fixpunkt gilt also
a(n)= n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! +- ... +(-1)n*n!/n!
die wahrscheinlichkeit, dass eine Permutation einer n-elementigen Menge keinen Fixpun kt besitzt ist:
P= a(n)/n!
da ich in meiner aufgabe aber 3 bzw. mehr als 10 fixpunkte habe, dachte ich ich müsse das Koplementar nehmen.
Nicht????
LG Björn
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Lieber Björn!
> Die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge ohne
> Fixpunkte ist gleich
>
> n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! +- ... +(-1)n*n!/n!
OK.
> Für die gesuchte Anzahl aller Permutationen ohne Fixpunkt
> gilt also
>
> a(n)= n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! +- ...
> +(-1)n*n!/n!
> die wahrscheinlichkeit, dass eine Permutation einer
> n-elementigen Menge keinen Fixpun kt besitzt ist:
>
> P= a(n)/n!
OK. Also ich schreibe es nur noch mal für unseren Fall auf:
[mm]P(X=0)=\sum\limits_{r=0}^8 \frac{(-1)^r}{r!}[/mm]
> da ich in meiner aufgabe aber 3 bzw. mehr als 10 fixpunkte
> habe, dachte ich ich müsse das Koplementar nehmen.
> Nicht????
Nein. Außer den Zahlen 0 und 3 kann $X$ ja noch weitere Werte annehmen, zB 2 Fixpunkte oder 5 Fixpunkte. Aber Stefan hat ja bereits die Formel bereitgestellt, die Du benötigst, nämlich
[mm]P(X=3)=\frac{1}{3!}\sum\limits_{r=0}^5 \frac{(-1)^r}{r!}[/mm]
Wenn Du dafür noch eine Begründung haben möchtest (und den Zusammenhang zu $a(n)$ oben), frag nach.
LG
Brigitte
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Ok. laut der Fprmel (ich sehe den Zusammenhang zu meiner Herleitung  ,
erhalte ich für die gesuchte W' in a) 1/6*11/30=11/180
bei b) sieht das bei mir dennoch so aus:
P(X=1)= 1/1!* SU´MME von r=0 bis 9 (-1)r/r!
= 1/2-1/6+1/24-1/120+1/720-1/5040+1/40320-1/362880
Aber das ist ja nun die W' für n=10 genau einen in den richtigen Umschalg zu verpacken. Da ich aber n größer 10 benötige muss ich nun was machen???
LG björn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Do 24.06.2004 | | Autor: | phymastudi |
Supi, vielen Dank!!!
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