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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 So 22.01.2006 | | Autor: | jaybee |
| Aufgabe | Vor einer Prüfung wird eine Liste der 10 beliebtesten Prüfungsfragen herausgegeben. Der Kandidat A bereitet lediglich zwei dieser Fragen für die Prüfung vor.
Bei der Prüfung werden dann tatsächlich zwei Fragen aus dem o.g. Fragenpool gestellt, wovon der Kandidat eine zu bearbeiten hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde genau eine der von ihm vorbereiteten Fragen gestellt? |
Meine Schwester muss diese Aufgabe morgen im Unterricht (benotet) vorrechnen. So einfach sie klingt, so schwer fiel es mir, ihr einen konkreten Lösungsansatz zu geben, mit dem sie es der Lehrkraft vortragen kann.
Mein Lösungsvorschlag lautet: P = 37,8%
Einen korrekten mathematischen Lösungsweg dazu kann ich jedoch nicht angeben, ich habe das Ergebnis lediglich durch "abzählen" ermittelt.
Hat jemand von Euch ad hoc einen Ansatz parat?
Für Anregungen bin ich sehr dankbar!
Gruß
Johannes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 So 22.01.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Deinem Ergebnis kann nicht ganz zustimmen.
Aber vorweg einmal ein Ansatz dieses Problem rechnerisch zu lösen:
1. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, 2 Fragen aus den 10 vorgelegten auszuwählen?
[mm] \Rightarrow [/mm] Kombination ohne Wiederholung, d.h. die Reihenfolge der Fragen ist irrelevant und logischerweise wird jede Frage nur einmal gestellt.
[mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt folglich [mm] \vektor{10 \\ 2} [/mm] Möglichkeiten.
2. Das geforderte Ereignis (es sei [mm] \Delta): [/mm] Kanditat A bekommt genau eine vorbereitete Frage vorgelegt. Wie viele Möglichkeiten gibt es hierfür? Analog zu obigem Vorgehen erhalten wir
[mm] \Rightarrow \vektor{2 \\ 1}\vektor{8 \\ 1}
[/mm]
M.a.W.: Von den zwei vorbereiteten soll eine und von den 8 unvorbereiteten soll eine vorgelegt werden. (Denkanstoß: Warum handelt es sich auch hier um eine sogennante Kombination ohne Wiederholung).
3. Errechnen der Wahrscheinlichkeit [mm] P(\Delta)
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit i.A. ist der Quotient aus der Zahl der günstigen Ereignisse und der möglichen Ereignisse.
[mm] \Rightarrow P(\Delta)= \bruch{\vektor{2 \\ 1}\vektor{8 \\ 1}}{\vektor{10 \\ 2}} \approx [/mm] 35,6%
Alles klar und nachvollziehbar?
Dann noch viel Spaß und viel Erfolg beim Vortrag!
Vlg, Kübi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 So 22.01.2006 | | Autor: | jaybee |
| Aufgabe | Teilaufgabe b)
Wieviele Fragen hätte der Kandidat vorbereiten müssen, um mit wenigstens 50% Wahrscheinlichkeit damit rechnen zu können, genau eine vorbereitete Frage zu erhalten? |
Hallo Kuebi,
vielen Dank für deine ausführliche und gut verständliche Antwort!
Mein Fehler lag darin, dass ich die Formulierung "genau eine vorbereitete Frage" nicht beachtet und damit auch die Lösung "beide vorbereiteten Fragen wurden gestellt" zuließ.
Die Aufgabe hatte noch einen zweiten Teil.
Ich würde nun selbiges noch mal mit 3 / 4 / ... vorbereiteten Fragen durchrechnen und zu dem Ergebnis kommen, dass erst bei vier vorbereiteten Fragen die geforderte Mindestwahrscheinlichkeit erreicht wird.
Fällt dir dazu ein formal korrekter Weg ein?
Viele Grüße
Johannes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 So 22.01.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo nochmal!
Dieser Aufgabenteil scheint irgendwie lebensfremd zu sein!?
Die Wahrscheinlichkeit, genau 1 vorbereitete Frage aus 10 Fragen gesamt, x Vorbereiteten und 2 Vorgelegten gestellt zu bekommen, steig nämlich nicht linear an, sondern die Warhscheinlichkeit geht ab einer bestimmten Zahl von vorbereiteten Fragen wieder zurück, weil ja dann die Chance 2 vorbereitete zu bekommen höher wird. Und das wäre dem Kanditaten bestimmt lieber, oder? *g*
Nun zum mathemathischen:
Die Wahrscheinlichkeit für x vorbereitete Fragen errechnet sich ja zu(Notation von vorhin):
[mm] P(\Delta) [/mm] = [mm] \bruch{ \vektor{x \\ 1} \vektor{10-x \\ 1}}{ \vektor{10 \\ 2}}
[/mm]
Das ist ja eine Funktion von x, also f(x).
Diese ist wie man leicht nach dem Ausschreiben sieht, quadratisch und hat ihren Hochpunkt bei x=5. (Was leicht einzusehen ist!).
Folglich muss man hier einfach fordern: f(x) = 0,5 und dann mit den erhaltenen Ergebnissen probieren.
Hinweis: Bei 4,5 und 6 vorbereiteten Fragen ist die Wahrscheinlichkeit genau eine vorgelegte zu bekommen > 50%.
Ist sehr interessant sich damit mal zu beschäftigen! Was auch die Einsicht bringen wird, dass diese Aufgabe seltsam gestellt ist! 
Vlg, Kübi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 So 22.01.2006 | | Autor: | jaybee |
Erneut vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Der Sinngehalt dieser zweiten Aufgabenstellung ist wirklich fraglich - um so trauriger, dass sie aus einem Stochastik-Schulbuch stammt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 So 22.01.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Eine kleine Alternative übers Baumdiagramm.
Also wenn die Frage nach genau einer bekannten Frage aus dem Fragenpool mit 10 Gesamtfragen ist, dann ist die Ergebnismenge
E = { (Bekannt, Unbekannt), (Unbekannt, Bekannt) }
Am Anfang gibt es 10 Fragen.
Für E = { (Bekannt, Unbekannt)}
D.h. die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Frage eine Bekannte ist, ist 2/10. Es verbleiben nun nur noch 9 weitere Fragen, aus denen der Professor auswählen konnnte. Da eine bekannte Frage weg ist, bleiben noch die restlichen 8 Unbekannten und eine bekannte Frage. D.h. die Wahrscheinlichkeit, eine Unbekannte zu erwischen, ist 8/9.
Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis müsste jetzt eigentlich sein
[mm] P_1 [/mm] = [mm] \bruch{2}{10}* \bruch{8}{9} [/mm] = 17,7778%
Für E = { (Unbekannt, Bekannt) }
Die Wahrscheinlichkeit bei 10 Fragen, von denen man zwei kennt, eine Unbekannte zu erwischen, ist 8/10. Ist eine Unbekannte erwischt, so bleiben noch 7/9 Unbekannten und 2/9 Bekannte. D.h. nun eine Bekannte zu erwischen, ist 2/9.
[mm] P_2 [/mm] = [mm] \bruch{8}{10}* \bruch{2}{9} [/mm] =17,7778%
Dann ist [mm] P_{gesamt} [/mm] = [mm] P_1 [/mm] + [mm] P_2 [/mm] = 35,5555%
Grüße Phoney
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 So 22.01.2006 | | Autor: | jaybee |
Danke für deinen Beitrag!
Für einen Stochastik-Anfänger ist dieser Weg womöglich sogar noch leichter nachzuvollziehen.
Allerdings wurde im Unterricht stets mit den kombinatorischen Formeln gearbeitet, weshalb ich vermute, dass die Lehrkraft auch eine Lösung anstrebt, in der diese Anwendung finden.
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