Stochastische Konvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] X_{1},X_{2},... [/mm] eine Folge von unabhängigen, auf dem Intervall [0,1] gleichverteilten Zufallsvariablen. Für n [mm] \in \IN [/mm] sei
[mm] Y_{n } := min_{i \in {1,...,n}}} X_{i} [/mm] und [mm] Z_{n } := max_{i \in {1,...,n}}} X_{i} [/mm]
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von [mm] Y_{n} [/mm] und [mm] Z_{n} [/mm] für [mm] n \in \IN [/mm]
b) Zeigen Sie, dass [mm] (Y_{n})_{n \in \IN}[/mm] und [mm] (Z_{n})_{n \in \IN}[/mm] stochatisch konvergieren und bestimmen Sie die Grenzwerte. |
Hi, [Dateianhang nicht öffentlich] a) habe ich mal als Bild angehängt.
Zur b) Nach a) weiß ich [mm] P(Y_{n} \le t) =1 -(1- t)^n [/mm] mit t [mm] \in [/mm] (0,1)
[mm]\Rightarrow P(Y_{n} > t) =1-(1 -(1- t)^n) [/mm]
[mm]\Rightarrow P(Y_{n} > t) = (1- t)^n [/mm]
[mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} P(Y_{n} > t) = \limes_{n\rightarrow\infty} (1- t)^n [/mm]
[mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} P(Y_{n} > t) = 0 [/mm]
[mm]\Rightarrow Y_{n} [/mm] konvergiert stochastisch gegen 0
Nun glaube ich, dass [mm] Z_{n} [/mm] stochastsch gegen 1 konvergiert. beim Beweis scheitere ich leider. Kann mir da jemand helfen.
(Nach a) weiß ich [mm] P(Z_{n} \le t) = t^n [/mm] )
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hiho,
zu deiner Mitschrift:
1.) Du solltest einen anderen Buchstaben als f wählen, wenn dein f aussieht wie eine 1.
2.) Es muss in deiner Lösung natürlich heißen: [mm] $\bigcap_{i \in \{1,\ldots,n\}}$ [/mm] statt [mm] $\bigcup_{i \in \{1,\ldots,n\}}$
[/mm]
Ansonsten passt es aber.
Zu deiner b) Lösung: Deine Lösung für [mm] $Y_n \to [/mm] 0$ ist Ordnung. Deine Nachfrage bezüglich [mm] Z_n [/mm] beweist aber, dass du keine Ahnung hast, was stochastische Konvergenz eigentlich bedeutet.
Daher die Frage: Wann konvergiert nach Definitiion [mm] $Z_n \to [/mm] Z$ stochastisch?
Gruß,
Gono
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[mm] Z_{n} [/mm] konvergiert stochastisch gegen Z
wenn [mm] \forall \varepsilon > 0 \limes_{n\rightarrow\infty} P(|Z_{n} -Z| \ge \varepsilon) = 0 [/mm]
Sprich in meinem Fall muss ich zeigen
[mm] \forall \varepsilon > 0 \limes_{n\rightarrow\infty} P(|Z_{n} -1| \ge \varepsilon) = 0 [/mm]
Wie gehts denn weiter?
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Hiho,
na das sieht doch schon mal gut aus.
Dann überlege dir mal, welchen Wertebereich [mm] Z_n [/mm] hat und was dann also für [mm] |Z_n [/mm] - 1| gilt.
Der Rest ist simples umformen....
Gruß,
Gono
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> Dann überlege dir mal, welchen Wertebereich [mm]Z_n[/mm] hat und
> was dann also für [mm]|Z_n[/mm] - 1| gilt.
Kann man wie folgt argumentieren?
[mm] P(|Z_{n} -1| \ge \varepsilon) = P(Z_{n} \le 1-\varepsilon) = (1-\varepsilon)^n [/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} P(|Z_{n} -1| \ge \varepsilon) =\limes_{n\rightarrow\infty} (1-\varepsilon)^n = 0[/mm]
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Hiho,
> Kann man wie folgt argumentieren?
> [mm]P(|Z_{n} -1| \ge \varepsilon) = P(Z_{n} \le 1-\varepsilon) = (1-\varepsilon)^n[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} P(|Z_{n} -1| \ge \varepsilon) =\limes_{n\rightarrow\infty} (1-\varepsilon)^n = 0[/mm]
ja kann man, oder kann man nicht?
Begründe doch mal jedes Gleichheitszeichen, dann siehst du es doch.
Gruß,
Gono
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[mm]P(|Z_{n} -1| \ge \varepsilon) = P(Z_{n} \le 1-\varepsilon) = (1-\varepsilon)^n[/mm]
Das zweite Gleichheitszeichen ergibt sich aus a)
Das erste Gleichheitszeichen ergibt sich daraus, dass [mm]|Z_{n} -1|[/mm] den selben Wertebereich wie [mm]Z_{n}[/mm] hat und es gilt [mm] |Z_{n} -1| = g(Z_{n}) [/mm], wobei [mm] g(z) = |z-1| = 1-z , z \in [0,1][/mm]
Also: [mm]P(|Z_{n} -1| \ge \varepsilon) = P( 1-Z_{n} \ge \varepsilon) = P( -Z_{n} \ge -1 + \varepsilon) = P(Z_{n} \le 1-\varepsilon) = (1-\varepsilon)^n[/mm]
Und dann nur noch den Grenzwert berechnen. Top danke :)
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Hiho,
na es geht doch, wobei deine Begründungen echt kompliziert sind....
> Das erste Gleichheitszeichen ergibt sich daraus, dass [mm]|Z_{n} -1|[/mm] den selben Wertebereich wie [mm]Z_{n}[/mm] hat und es gilt [mm]|Z_{n} -1| = g(Z_{n}) [/mm], wobei [mm]g(z) = |z-1| = 1-z , z \in [0,1][/mm]
so so..... oder in kurz: [mm] $Z_n \in [/mm] [0,1]$ und damit [mm] $Z_n [/mm] - 1 < [mm] 0\quad\Rightarrow\quad |Z_n [/mm] - 1| = 1 - [mm] Z_n$
[/mm]
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Mi 25.03.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo MeineKekse!
*Ich* sehe noch einen kleinen Fehler am Ende. Es ist
[mm] $F_{Y_n}(f)=1\$ [/mm] für [mm] $f>1\$.
[/mm]
(Oder auch für [mm] $f\ge [/mm] 1$.)
Betrachte bei dir mal [mm] F_{Y_n} [/mm] in [mm] $(0,1)\$. [/mm] Ist das im Allgemeinen eine
Abbildung? Wahrscheinlich ist das nur ein Flüchtigkeitsfehler,
aber sicher ist sicher.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Mi 25.03.2015 | | Autor: | MeineKekse |
ja da hast du vollkommen recht. Das passiert, wenn man das nochmal schnell aufschreibt.
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