Stochastische Unabhängigkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi!
Ich soll zeigen, daß der Parametervektor [mm] \tilde \beta [/mm] einer Maximum-Likelihood-Schätzung stochastisch unabhängig ist von der Störgrößenvarianz [mm] \tilde \sigma^{2}. [/mm] Mein Denkansatz ist, daß unter Normalverteilung Unabhängigkeit und Unkorreliertheit äquivalent sind, ich somit nur zeigen muß, daß gilt [math]cov(\tilde \beta, \tilde \sigma^{2})=0[/math]. Dies zu zeigen ist auch kein Problem, die Sache ist nur: Normalverteilung für [mm] \tilde \beta [/mm] anzunehmen ist kein Problem, aber [mm] \tilde \sigma^{2} [/mm] ist [mm] \chi^{2} [/mm] -verteilt, oder? Oder denke ich zu kompliziert und es ist statt dessen so, daß auch [mm] \tilde \sigma^{2} [/mm] normalverteilt ist, weil die Störgröße [math]\hat u[/math] die einzige stochastische Größe ist, von der [mm] \tilde \sigma^{2} [/mm] abhängt, und da [math]\hat u[/math] normalverteilt ist, auch [mm] \tilde \sigma^{2} [/mm] normalverteilt sein muß (Transformationssatz)?
Da [math]\tilde \sigma^{2} = \bruch{\hat u^{T}\hat u}{n}[/math], müsste doch aber [mm] \tilde \sigma^{2} [/mm] schon [mm] \chi^{2} [/mm] -verteilt sein, oder? Dann kann ich unabhängig [mm] \gdw [/mm] unkorreliert nicht anwenden, denn es gilt nur unabhängig [mm] \Rightarrow [/mm] unkorreliert, die Rückwärtsrichtung ist also nicht erlaubt.
Um es nochmal anders zu formulieren: Wenn eine ZV [math]U \sim \chi_{n}^{2}[/math], gilt dann für [math]Z=\bruch{U}{n} \sim NV[/math]?
Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe! 
|
|
| |
|
Hallo nochmal!
> Ich soll zeigen, daß der Parametervektor [mm]\tilde \beta[/mm] einer
> Maximum-Likelihood-Schätzung stochastisch unabhängig ist
> von der Störgrößenvarianz [mm]\tilde \sigma^{2}.[/mm] Mein
> Denkansatz ist, daß unter Normalverteilung Unabhängigkeit
> und Unkorreliertheit äquivalent sind, ich somit nur zeigen
> muß, daß gilt [math]cov(\tilde \beta, \tilde \sigma^{2})=0[/math]. Dies
> zu zeigen ist auch kein Problem, die Sache ist nur:
> Normalverteilung für [mm]\tilde \beta[/mm] anzunehmen ist kein
> Problem, aber [mm]\tilde \sigma^{2}[/mm] ist [mm]\chi^{2}[/mm] -verteilt,
> oder? Oder denke ich zu kompliziert und es ist statt dessen
> so, daß auch [mm]\tilde \sigma^{2}[/mm] normalverteilt ist, weil die
> Störgröße [math]\hat u[/math] die einzige stochastische Größe ist, von
> der [mm]\tilde \sigma^{2}[/mm] abhängt, und da [math]\hat u[/math] normalverteilt
> ist, auch [mm]\tilde \sigma^{2}[/mm] normalverteilt sein muß
> (Transformationssatz)?
> Da [math]\tilde \sigma^{2} = \bruch{\hat u^{T}\hat u}{n}[/math], müsste
> doch aber [mm]\tilde \sigma^{2}[/mm] schon [mm]\chi^{2}[/mm] -verteilt sein,
> oder? Dann kann ich unabhängig [mm]\gdw[/mm] unkorreliert nicht
> anwenden, denn es gilt nur unabhängig [mm]\Rightarrow[/mm]
> unkorreliert, die Rückwärtsrichtung ist also nicht
> erlaubt.
> Um es nochmal anders zu formulieren: Wenn eine ZV [math]U \sim \chi_{n}^{2}[/math],
> gilt dann für [math]Z=\bruch{U}{n} \sim NV[/math]?
Nein, das gilt bestimmt nicht. Ich vermute, Du musst das Problem mit linearer Algebra in den Griff bekommen, d.h. [mm] $\tilde\beta$ [/mm] und [mm] $\tilde \sigma^2$ [/mm] als Linearkombination von Vektoren einer Orthonormalbasis im [mm] $\IR^n$ [/mm] darstellen und darüber begründen, dass die Schätzer unabhängig sind. Womit arbeitet ihr denn? Habt ihr ein Skript oder Buch? Da sollte es schon Ansätze in dieser Richtung gegeben haben.
Viele Grüße
Brigitte
|
|
|
|
