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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:29 Mo 02.07.2012 | | Autor: | ggT |
| Aufgabe | Folgende Differentialgleichung ist gegeben:
$y' = [mm] e^{x}y^{2}+5, \quad [/mm] (x,y) [mm] \in \mathbb{R}^{2}$
[/mm]
Für jedes [mm] $y_{0} \in \mathbb{R}$ [/mm] gibt es eine eindeutig bestimmte Lösung der Anfangsbedingung $y(0) = [mm] y_{0}$ [/mm] auf ganz [mm] $\mathbb{R}$.
[/mm]
Es bezeichne [mm] $\phi [/mm] : [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] die Lösung der Anfangswertbedingung $y(0) = 1$ und [mm] $\psi_{a} [/mm] : [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] die Lösung der Anfangsbedingung $y(0) = 1+a$ für ein beliebiges $a [mm] \in \mathbb{R}$. \\
[/mm]
Schätze [mm] $|\phi(2) [/mm] - [mm] \psi_{a}(2)|$ [/mm] mit dem Störungssatz ab. [mm] \\ [/mm] |
$y' = [mm] e^{x}y^{2} [/mm] + 5$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\dfrac{dy}{dx} [/mm] = [mm] e^{x}y^{2} [/mm] + 5$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $y^{-2} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] + 5$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\int_{}^{} y^{-2} [/mm] = [mm] \int_{}^{} e^{x} [/mm] + 5$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $-y^{-1} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] + 5x$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $-\dfrac{1}{y} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] + 5x$ [mm] \\
[/mm]
$y = [mm] -\dfrac{1}{e^{x}+5x}$ \\
[/mm]
Mich stört das minus auf der rechten Seite bei dem Ergebnis, weil das dann mit der Anfangsbedingung $y(0) = 1$ ja nicht hinkommen kann, da das dann $-1$ wäre, oder verwechsel ich da was? Wie geht es hier dann weiter, mit der Abschätzung komm ich gar nicht klar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Mo 02.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du denn auf die abenteuerliche Gleichung
$ [mm] y^{-2} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] + 5 $ $ [mm] \\ [/mm] $
was hat das mit der gegebenen Dgl zu tun?
was habt ihr unter "Störungssatz" verstanden und gemacht?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Mo 02.07.2012 | | Autor: | ggT |
Oh ja was hab ich denn da gemacht, aber komme da recht schnell nicht weiter, also mit Trennung der Variablen scheint das nicht zu funktionieren oder hab ich da was übersehen: [mm] \\
[/mm]
$y' = [mm] e^{x}y^{2} [/mm] + 5$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\dfrac{dy}{dx} [/mm] = [mm] e^{x}y^{2} [/mm] + 5$ [mm] \\
[/mm]
$dy = [mm] e^{x}y^{2}dx [/mm] + 5dx$ [mm] \\
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mo 02.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein so geht es nicht, ich denke auch nicht , dass du die dgl lösen sollst, sondern den störungssatz anwenden, wie ändert sich ein Losung, wenn sich der Anfangswert ändert?
Warum beantwortest du meine Fragen nicht- und erwartest, dass deine beantwortet werden?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Mo 02.07.2012 | | Autor: | ggT |
Jo stimmt schon, liegt daran, dass ich den Störungssatz einfach nicht im Skript finde und ich das Gefühl hab, dass wir den gar nicht gemacht haben. Oder hängt das zusammen mit dem Umkehrsatz oder dem Satz über implizite Abbildungen, denn das waren unsere letzten Themen. Daher bin ich nun schlichtweg überfragt, ich erinner mich nicht an so einen Satz und auf keinen Fall unter diesem Namen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Mo 02.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Satz geht über die abhängigkeit der Lösungen von Dgl von den Anfangsbed.
du hast am anfang aus der anfangsbed die 2 anfangseigungen , dann muss man abschätzen wie sich die stigunen maximal ändern und dadurch eine abschätzung kriegen. aber ich bin zu müde. gute nacht- such dir nen mitstudi um deine paar restlichen punkte zu kriegen. man sollte mathe eh nicht ganz allein vor sich hin betreiben!
gruss leduart
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