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Hallo,
kann mir jemand den Stokesschen Integralsatz erklären? Der Heuser schreibt, dass der Stokessche Integralsatz Oberflächenintegrale durch Wegintegrale ausdrückt.
Die Definition lautet: [mm] \integral_{K}{rotF*n dV}
[/mm]
Wie kann ich mir das bildlich vorstellen? Was beudetet n? Ist das der Normalenvektor auf der Oberfläche von M? Und was bedeutet positiv orientierter Rand [mm] \partial [/mm] K ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 So 21.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> kann mir jemand den Stokesschen Integralsatz erklären? Der
> Heuser schreibt, dass der Stokessche Integralsatz
> Oberflächenintegrale durch Wegintegrale ausdrückt.
>
> Die Definition lautet: [mm]\integral_{K}{rotF*n dV}[/mm]
>
> Wie kann ich mir das bildlich vorstellen? Was beudetet n?
> Ist das der Normalenvektor auf der Oberfläche von M? Und
> was bedeutet positiv orientierter Rand [mm]\partial[/mm] K ?
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier, da gibt's eine ausführliche Erklärung mit grafischer Darstellung.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Herby,
ich verstehe so langsam. Wo aber der Zusammenhang zwischen der Fläche und dem Rand besteht weis ich noch immer nicht. KAnnst du mir ein Beispiel nennen, wo es anschaulicher wird? Irgendwie ist es bei Satz von Gauß verständlicher, mag aber auch an der Divergenz liegen. Dort kann ich mir das anhand eines Zylinders gut vorstellen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo BB,
eine Rotation kannst du dir folgendermaßen vorstellen:
Nimm ein Rohr und lasse dort eine Flüssigkeit durchlaufen. Die Strömung in der Mitte ist größer als die am Rand, durch die Reibung. Dadurch kommen die Flüssigkeitsmoleküle am Rand in Rotation. Das Integral der Rotation im Vektorfeld drückt also die Stärke dieser Rotation aus. Und nach Stokes ist das das Gleiche als wenn du das Vektorfeld selbst integrierst, über den Rand der Kurve k.
![[read]](/images/smileys/read.gif "[read]") Als Buchtipp kann ich dir:
Rotation Divergenz und Gradient - Gottlieb Strassacker
empfehlen.
Liebe Grüße
Herby
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Hallo Herby,
du meinst nach Stokes ist das Integral des Randes dasselbe wie das Integral der gesamten Fläche (weil in der Mitte keine Rotation entsteht bzw. vernachlässigbar ist). Habe ich das so richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Di 23.10.2007 | | Autor: | Herby |
Moin BB,
> du meinst nach Stokes ist das Integral des Randes dasselbe wie das
> Integral der gesamten Fläche (weil in der Mitte keine Rotation entsteht
> bzw. vernachlässigbar ist). Habe ich das so richtig verstanden?
entschuldige bitte meine obige Erklärung, da habe ich die beiden Objekte wohl nicht scharf genug getrennt ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") eine Rotation kann überall in der Fläche sein oder auch nirgends, sie nimmt nicht zur Mitte der Fläche hin ab, denn wo ist z.B. bei willkürlich gewählten sphärischen Flächen die Mitte 
Ich wollte viel mehr nur die Rotation veranschaulichen.
Definition:
Das Kurvenintegral eines Vektorfeldes [mm] \vec{F} [/mm] längs einer einfachen geschlossenen Kurve K ist gleich dem Oberflächenintegral der Rotation von [mm] \vec{F} [/mm] über eine beliebige Fläche A, die durch diese Kurve berandet wird.
Meine Beschreibung der Rotation diente nur der Vorstellung, ähnlich der Divergenz mit den Volumenelementen. Die Rotation ist aber nicht ganz so anschaulich zu verstehen und daher der Integralsatz von Stokes noch viel weniger 
Der Stokesche Integralsatz stellt eine Verbindung zwischen dem Linienintegral (Arbeit an einer Punktmasse) entlang der Kurve K und der Rotation eines Vektorfeldes her.
Ich hatte dir einen -Tipp gegeben, wenn du wirklich mehr über diese Thematik erfahren möchtest. Als Grundlage dafür, musst du dir aber unbedingt noch mal die Themen: Kurven- und Oberflächenintegral sowie Vektorfeld anschauen.
Wie gesagt, so anschaulich wie die Divergenz ist es hierbei nicht.
Wenn mir noch was Besseres einfällt, dann melde ich mich wieder
so long
Herby
PS: die andere Frage stelle ich mal auf halbbeantwortet, vielleicht ergänzt sie noch jemand, oder erklärt es verständlicher ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Do 25.10.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo BeelzeBub,
Anwendung: Durchflutungsgesetz:
Im magnetischen Feld ist das Wegintegral der magnetischen Feldstärke [mm] \vec{H} [/mm] längs einer geschlossenen Kurve immer gleich der Summe der Ströme, die von der Kurve umfasst werden.
[mm] \integral_K{\vec{H}\ ds}=\integral\integral_{A}{rot\ \vec{H}\ d\vec{a}}=\integral\integral_{A}{\vec{J}\ d\vec{a}}=I
[/mm]
mit J=Stromdichte und I=Strom
Die Rotation findest du hierbei, wenn du dir vorstellst, dass die einzelnen Ströme klitzekleine Flächen (Zellen) durchströmen um die sich wiederum Feldlinien legen. Benachbarte Zellen haben gegenläufige Feldlinien, sie kompensieren sich, wenn wir davon ausgehen, dass die Stromdichte homogen ist. Umlaufend um alle Zellen bildet sich aber ein Feld, das man auch die Zirkulation von [mm] \vec{J} [/mm] nennt.
Der Stokessche Satz stellt genau diese Verbindung zwischen Zirkulation und Strömungsfeld durch die Integralbeziehung dar.
Nun bist du dran mit lesen, lesen, lesen und noch mal lesen
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Do 25.10.2007 | | Autor: | BeelzeBub |
Hallo Herby,
inzwischen habe ich es ganz gut verstanden, denke ich. Anschaulich ist es nun klarer geworden.
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
