Stoppzeit f.s. endlich < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Bappi |
| Aufgabe | Hallo!
Ich habe einen Prozess
[mm] $X_t [/mm] = [mm] B_t \mathbf 1_{B_t \neq 0}$
[/mm]
wo [mm] $B_t$ [/mm] eine Brownsche Bewegung. Jetzt definieren wir die Stoppzeiten
[mm] $\tau [/mm] = [mm] \{t \geq 0 : X_t = 0 \}$ [/mm] (also die Eintrittszeit)
[mm] $\eta [/mm] = [mm] (1-\tau) \vee [/mm] 0$
Zu zeigen ist nun, dass [mm] $\tau, \eta$ [/mm] f.s. endlich sind. |
Idee: Markov-Ungleichung
Also
[mm] $\mathbb P(\tau [/mm] > [mm] \epsilon) \leq \frac 1\epsilon \mathbb E\tau$
[/mm]
Jedoch weiß ich nichts zur Existenz der Erwartung. Deshalb weiter das infimum (in Schnitt überführen und aus der Wahrscheinlichkeit ziehen jedoch gibt das keine endliche Summe) beseitigen, nur weiß ich nicht wie man weiter verfahren kann.
Gibt es ein allgemeines Konzept für solche Aufgaben?
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> Hallo!
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> Ich habe einen Prozess
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> [mm]X_t = B_t \mathbf 1_{B_t \neq 0}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> wo [mm]B_t[/mm] eine Brownsche Bewegung. Jetzt definieren wir die
> Stoppzeiten
>
> [mm]\tau = \{t \geq 0 : X_t = 0 \}[/mm] (also die Eintrittszeit)
> [mm]\eta = (1-\tau) \vee 0[/mm]
>
> Zu zeigen ist nun, dass [mm]\tau, \eta[/mm] f.s. endlich sind.
>
> Idee: Markov-Ungleichung
>
> Also
>
> [mm]\mathbb P(\tau > \epsilon) \leq \frac 1\epsilon \mathbb E\tau[/mm]
>
> Jedoch weiß ich nichts zur Existenz der Erwartung. Deshalb
> weiter das infimum (in Schnitt überführen und aus der
> Wahrscheinlichkeit ziehen jedoch gibt das keine endliche
> Summe) beseitigen, nur weiß ich nicht wie man weiter
> verfahren kann.
>
> Gibt es ein allgemeines Konzept für solche Aufgaben?
Hallo,
ich vermisse hier eine klare Aufgabenstellung, die auch
jemand verstehen könnte, der nicht gerade das gleiche
Buch oder Skript wie du vor sich hat.
Ich verstehe die Schreibweisen [mm] X_t [/mm] und [mm] B_t [/mm] nicht so recht.
Außerdem wäre für mich [mm] \{t \geq 0 : X_t = 0 \}[/mm]
nicht eine Zeit, sondern eine Menge.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Mi 14.12.2011 | | Autor: | vivo |
vielleicht hilft Dir ja schonmal, dass jede Brownsche Bewegung in jedem Intervall [mm][0,\epsilon][/mm] unendlich viele Nullstellen hat.
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> vielleicht hilft Dir ja schonmal, dass jede Brownsche
> Bewegung in jedem Intervall [mm][0,\epsilon][/mm] unendlich viele
> Nullstellen hat.
Naja, in diesem Fall ist mir die Sache noch weniger
klar als zuvor, d.h. es geht hier wohl um etwas anderes
als das, was ich mir beim Stichwort "Brownsche Bewegung"
vorstellte.
Es liegt schon am Fragesteller, die Frage so rüberzubringen,
dass man versteht, was gemeint ist.
LG Al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:28 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Bappi |
D.h. die Nullstellenmenge eine Pfades $t [mm] \mapsto B_t(\omega)$, [/mm] wo [mm] $\omega$ [/mm] fest, der Brownschen Bewegung ist
[mm] $N(\omega) [/mm] = [mm] \{t \mid B_t (\omega) = 0 \}$
[/mm]
und hat dann sicher das Lebesgue-Maß $0$ oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 16.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Bappi |
| Aufgabe | Sry für den dummen Schreibfehler oben, ich schau mir die Aufgabe wohl schon sehr lange an :(.
Hier noch einmal etwas ausführlicher:
Ich habe folgendes Problem: Eigentlich möchte ich zeigen, dass Markov nicht stark Markov folgt für einen Markov-Prozess (das wohl erste Gegenbeispiel dafür).
Dafür nehme ich eine Brownsche Bewegung [mm] $(B_t)_t$ [/mm] (oder auch Wiener-Prozess) und "bastle" nun daraus einen neuen Prozess [mm] $(X_t)_{t \geq 0}$ [/mm] mit
[mm] $X_t [/mm] = [mm] B_t \textbf 1_{\{ B_0 \neq 0\}} [/mm] = [mm] \begin{cases} B_t & B_0 \neq 0\\ 0 & B_0 = 0 \end{cases}$
[/mm]
Um nun aber weiter verfahren zu können, brauche ich fast sicher endliche Stoppzeiten.
Die Stoppzeiten werden wir folgt definiert:
[mm] $\tau [/mm] = [mm] \inf \{ t : X_t = 0 \}$ [/mm] und [mm] $\eta [/mm] = (1 - [mm] \tau) \vee [/mm] 0$ |
Nun ist meine Frage, wie zeige ich am geschicktesten, dass dann [mm] $\tau$ [/mm] und [mm] $\eta$ [/mm] f.s. endlich sind?
Nun war meinte erste Überlegung, das Minimum von Stoppzeiten ist wieder eine SZ, die Summe auch, nur gibt mir das ja noch keine f.s. Endlichkeit (höchstens dass [mm] $\eta$ [/mm] dann auch eine ist).
Nun zu [mm] $\tau$. [/mm] Meine erste Überlegung war, wenn sie f.s. sicher endlich ist, dann muss
[mm] $\mathbb P(\tau [/mm] = [mm] \infty) [/mm] = 0$
gelten. Und ich gehe über
[mm] $\mathbb P(\tau \geq \epsilon) \uparrow \mathbb P(\tau [/mm] = [mm] \infty)$ [/mm] für [mm] $\epsilon \uparrow \infty$
[/mm]
und benutze die Markov-Ungleichung und damit gilt
[mm] $\mathbb P(\tau \geq \epsilon) \leq \frac 1\epsilon \mathbb E\tau \xrightarrow{\epsilon \uparrow \infty} [/mm] 0 [mm] \thinspace \bullet \thinspace [/mm] ?$
nur habe ich keine Eigenschaften der Erwartung, und wenn ich das [mm] $\inf$ [/mm] in einen Schnitt umbeschreibe, komme ich damit auch nicht weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] X_t [/mm] = [mm] B_t \textbf 1_{\{ B_t \neq 0\}} [/mm] = [mm] \begin{cases} B_t & B_t \neq 0\\ 0 & B_t = 0 \end{cases} [/mm] $
Was bringt mir die Indikatorfunktion hier? X und B sind doch identisch.
> $ [mm] \eta [/mm] = (1 - [mm] \tau) \vee [/mm] 0 $
Damit ist [mm] $\eta$ [/mm] f.s. zwischen 0 und 1 und damit endlich.
> $ [mm] \tau [/mm] = [mm] \inf \{ t : X_t = 0 \} [/mm] $
Die BB hat in jeder Umgebung eines Nulldurchgangs f.s. unendlich viele Nulldurchgänge.
Du kannst auch allgemein an Rekurrenz arbeiten:
Sei $0<r<x<R$. x ist der Startwert, [mm] $T_r$ [/mm] und [mm] $T_R$ [/mm] die Ersteintrittszeiten, wo die BB den Bereich (r,R) nach unten bzw. oben verläßt.
[mm] $T=T_r \wedge T_R$.
[/mm]
$x= [mm] E_x(B(T))= [/mm] r* [mm] P_x(T_r
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Bappi |
Vielen Dank!
Ich habe zur selben Zeit editiert, als du geschrieben hast. Gemacht wird die Unterscheidung nur, damit man in der eigentlich Aufgabe einfacher rechnen kann, weil sich dann die Übergangsfunktion des Markov-Prozesses als
[mm] $p_t(x, \Gamma) [/mm] = [mm] \begin{cases} \displaystyle (2\pi t)^{-1/2} \int_\Gamma \exp \left(\frac{-(u-x)^2}{2t}\right) \md u & x \neq 0\\
\delta_0(\Gamma) & x = 0\end{cases}$
[/mm]
ergibt, wo [mm] $\Gamma$ [/mm] Borel. Deshalb [mm] $X_t [/mm] = [mm] B_t \mathbf 1_{\{ B_0 \neq 0\}}$[/mm]
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