Streckung entlang x-Achse < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Do 23.06.2011 | | Autor: | hyphen |
Hey MatheForum,
f (x) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2
[/mm]
f'(x) = 3x² + 2x
der Graph von f'(x) soll für ein bestimmtes Intervall immer oberhalb eines negativen Maximalwertes ( beispielsweise -0.2 verlaufen, Intervall ersteinmal nicht wichtig).
Das Verfahren ist klar: Stelle mit größtem Extremwert finden (hier -1/3), Extremwert berechnen (hier zufällig auch -1/3).
Dann a Streckungsfaktor berechnen: -1/3 * a = -0.2 <=> a = 0.6
dann habe ich eine neue Funktion h(x) = (3x² + 2x)*0.6
Das eigentliche Problem besteht nun darin, dass ich die Stauchung des Graphen von f'(x) entlang der Y-ACHSE durch die Streckung des Graphen von f(x) an der X-Achse beschreiben möchte.
Ich habe mir gedacht, dass der neue gestreckte Graph durch die Funktion i(x) = (x*b)³ + (x*b)² dargestellt wird. Demnach wie f(x*b).
Leider komme ich einfach nicht darauf, wie ich nun b berechnen kann. Ich hab schon alles mögliche probiert, aber ich komme auf kein brauchbares Ergebnis.
Ist das ganze überhaupt so möglich?
Gruß
Robert
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Do 23.06.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Robert,
> f (x) = [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm]
> f'(x) = 3x² + 2x
>
> der Graph von f'(x) soll für ein bestimmtes Intervall
> immer oberhalb eines negativen Maximalwertes (
> beispielsweise -0.2 verlaufen, Intervall ersteinmal nicht
> wichtig).
Diese Aufgabenstellung ist unverständlich. Was heißt denn "für ein bestimmtes Intervall"? Ist ein negativer Maximalwert ein Minimum? Und wenn ja, wird das einfach gegeben oder resultiert es aus dem Funktionsverlauf? Geht es einfach nur um die Darstellung von f'(x) in einem vorab festgelegten Diagramm, so dass man "nur" die Maßstäbe in x- und y-Richtung bestimmen soll?
Im übrigen ist f(x) ja offenbar uninteressant und kommt nicht weiter vor, richtig?
> Das Verfahren ist klar: Stelle mit größtem Extremwert
> finden (hier -1/3), Extremwert berechnen (hier zufällig
> auch -1/3).
> Dann a Streckungsfaktor berechnen: -1/3 * a = -0.2 <=> a =
> 0.6
> dann habe ich eine neue Funktion h(x) = (3x² + 2x)*0.6
>
> Das eigentliche Problem besteht nun darin, dass ich die
> Stauchung des Graphen von f'(x) entlang der Y-ACHSE durch
> die Streckung des Graphen von f(x) an der X-Achse
> beschreiben möchte.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Ich habe mir gedacht, dass der neue gestreckte Graph durch
> die Funktion i(x) = (x*b)³ + (x*b)² dargestellt wird.
> Demnach wie f(x*b).
Ja. Nimm übrigens für Exponenten bitte nicht diese ASCII-Zeichen. [mm] x^4 [/mm] oder [mm] e^{\sin{x}} [/mm] wirst Du so sowieso nicht darstellen können, und sie sind einfach sehr schlecht lesbar. Verwende den Formeleditor bzw. die Schreibweise in [mm] Te\chi/LaTeX:[/mm] (x*b)^{3} ergibt [mm] (x*b)^3.
[/mm]
Die geschweiften Klammern um den Exponenten dürfen auch weggelassen werden, allerdings nur, wenn der Exponent aus einem einzigen Zeichen besteht. Für [mm] x^{-1} [/mm] muss also geklammert werden, für [mm] x^8 [/mm] nicht.
> Leider komme ich einfach nicht darauf, wie ich nun b
> berechnen kann. Ich hab schon alles mögliche probiert,
> aber ich komme auf kein brauchbares Ergebnis.
> Ist das ganze überhaupt so möglich?
Keine Ahnung. Dazu müsste erstmal die Aufgabenstellung geklärt werden.
> Gruß
> Robert
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Do 23.06.2011 | | Autor: | hyphen |
Okey, das mit dem Intervall ist für diese Funktion sowieso irrelevant.
Und, ja, mit 0,2 ist ein Minimum gemeint.
Das heißt, das der Graph von f'(x) so gestaucht wird , dass alle Werte für den gestauchten Graphen oberhalb dieses Minimums liegen.
Das ist aber nicht das eigentliche Problem, und ist auch nicht die "Aufgabenstellung"!
Ich will einen Zusammenhang zwischen der Stauchung des Graphen von f'(x) einlang der y-Achse, und der Streckung des Graphen von f(x) entlang der x-Achse herstellen. Also wie finde ich b aus f(x*b) = [mm] (x*b)^{3} [/mm] + [mm] (x*b)^{2}.
[/mm]
Bezogen auf das reale Problem:
Ich habe einen Servomotor, der zu verschiedenen Zeitpunkten einen bestimmten Winkel aufweißt. Also Winkel(t).
So ein Servomotor hat eine Maximalgeschwindigkeit zB Winkel/t = 0,2.
Also leite ich die erste Funktion ab und erhalte Winkel/t (t).
Und dieser Graph muss nun an die Maximalgeschwindigkeit angepasst werden, indem ich dem Servo nun "mehr Zeit lasse". Das würde einer Streckung von Winkel(t) entlang der x-Achse entsprechen.
Wahrscheinlich ist das noch verwirrender..vielleicht hilfts ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Do 23.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit ich dich verstanden habe, willst du f'(bx)>c haben
dann bilde doch einfach f`(bx)
also in deinem Fall [mm] f(bx)=b^3x^3+b^2x^2
[/mm]
[mm] f'(bx)=3b^3x^2+2bx>c [/mm] nach b auflösen, da du ja nur > haben willst kannst du auch abschätzen
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Do 23.06.2011 | | Autor: | hyphen |
Diesen und andere Ansätze hatte ich bereits durchgerechnet. Offentsichtlich gibt es bei deinem und meinen Ansätzen mehr als eine Lösung. Damit würde ich nicht das gewünschte Ergebnis erzielen.
Deshalb habe ich die gesamte Herleitung der Potenzregel mit x*b = x0 durchgerechnet:
k(x) = [mm] (x*b)^{n}
[/mm]
k'(x) = n * [mm] (x)^{n-1} [/mm] * 1/b
meine Funktionen:
f(x) = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] x^{2}
[/mm]
f'(x) = [mm] 3*x^{2} [/mm] + 2*x
mit Streckungsfakor:
f'(x) = [mm] 3*x^{2}*0.6 [/mm] + 2*x*0.6
folglich: 0.6 = 1/b
b = 1/0.6 = 1.66
also müsste f(x) = [mm] (x*1.66)^{3} [/mm] + [mm] (x*1.66)^{2} [/mm] sein.
Wie man sieht ist die Lösung für mein Problem eigentlich sehr einfach :D.
Danke, leduart und reverend, für eure gedanklichen Anstöße ;)
|
|
|
|
