Strenge monotonie mit MWS < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Fr 01.05.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass die Funktion
[mm] f(x)=\left(1+\bruch{1}{x}\right)^x [/mm] streng monoton wachsend auf [mm] \IR^+ [/mm] ist. |
Hi!
Habe da ein bisschen rumprobiert und hab bisher das hier gemacht:
Die erste Ableitung zeigt die Steigung der Funktion an, ist diese für alle x [mm] \in \IR^+ [/mm] > 0 dann ist die Funktion auch streng monoton wachsend...
[mm] f'(x)=\left(1+\bruch{1}{x}\right)^x*\left[ln\left(\bruch{1}{1+x}\right)-\bruch{1}{x+1}\right]
[/mm]
Für den linken Faktor kann ich ja jetzt direkt sagen, dass dieser immer positiv ist...
Beim rechten in den Eckigen Klammern würde ich das versuchen mit dem MWS zu beweisen... Oder wäre es sinnvoll den MWS anders?! anzuwenden?
Wenn ich jetzt einmal den MWS auf [mm] ln\left(\bruch{1}{1+x}\right) [/mm] und [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] anwende kriege ich doch die mittlere Steigung beider Terme raus oder?
Kann man dann sagen, wenn die mittlere Steigung von [mm] ln\left(\bruch{1}{1+x}\right) [/mm] größer ist als die von [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] dann ist das mit der größeren mittleren Steigung auch immer größer?
Irgendwie ergibt das für mich nicht soviel Sinn, denn es könnte ja sein, dass die eine Funktion in einem Intervall stärker abfällt und danach nur noch steigt und somit trotzdem eine größere mittlere Steigung hat.
Aber die Steigung muss ja im gesamten Intevall größer sein damit die Funktion auh größer ist?
Zudem habe ich noch Probleme den MWS anzuwenden da das Intervall ja von [mm] ]0;\infty[ [/mm] geht. Also klar muss ich Grenzwertsätze benutzen bzw variablen gegen die Grenzen laufen lassen...
Hmmmmmm 
Vielen Dank für eure Hilfe,
Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Fr 01.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass die
> Funktion
> [mm]f(x)=\left(1+\bruch{1}{x}\right)^x[/mm] streng monoton wachsend
> auf [mm]\IR^+[/mm] ist.
> Hi!
> Habe da ein bisschen rumprobiert und hab bisher das hier
> gemacht:
>
> Die erste Ableitung zeigt die Steigung der Funktion an, ist
> diese für alle x [mm]\in \IR^+[/mm] > 0 dann ist die Funktion auch
> streng monoton wachsend...
Genau das zeigst du mit dem Mittelwertsatz.
> [mm]f'(x)=\left(1+\bruch{1}{x}\right)^x*\left[ln\left(\bruch{1}{1+x}\right)-\bruch{1}{x+1}\right][/mm]
>
> Für den linken Faktor kann ich ja jetzt direkt sagen, dass
> dieser immer positiv ist...
Ja.
> Beim rechten in den Eckigen Klammern würde ich das
> versuchen mit dem MWS zu beweisen... Oder wäre es sinnvoll
> den MWS anders?! anzuwenden?
Nun, es ist [mm] $\frac{1}{1 + x} [/mm] < 1$, womit [mm] $\ln \frac{1}{1 + x} [/mm] < 0$ ist. Und [mm] $\frac{1}{x + 1} [/mm] > 0$, womit die Klammer negativ ist.
Du musst dich also beim Ableitung bestimmen verrechnet haben.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 So 03.05.2009 | | Autor: | tedd |
> Hallo!
>
> Nun, es ist [mm]\frac{1}{1 + x} < 1[/mm], womit [mm]\ln \frac{1}{1 + x} < 0[/mm]
> ist. Und [mm]\frac{1}{x + 1} > 0[/mm], womit die Klammer negativ
> ist.
>
> Du musst dich also beim Ableitung bestimmen verrechnet
> haben.
Ja darüber habe ich auch nachgedacht...
Aber ich bin mir eigtl sicher, dass die Ableitung richtig ist ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
also:
[mm] f(x)=e^{ln(1+\bruch{1}{x})*x}
[/mm]
[mm] f'(x)=\left(1+\bruch{1}{x}\right)^x*\left[\bruch{1}{1+\bruch{1}{x}}*-\bruch{1}{x^2}*x+ln\left(1+\bruch{1}{x}\right)*1\right]
[/mm]
[mm] =\left(1+\bruch{1}{x}\right)^x*\left[ln\left(1+\bruch{1}{x}\right)-\bruch{1}{x+1}\right]
[/mm]
>
> LG Felix
>
Danke und Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 So 03.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Nun, es ist [mm]\frac{1}{1 + x} < 1[/mm], womit [mm]\ln \frac{1}{1 + x} < 0[/mm]
> > ist. Und [mm]\frac{1}{x + 1} > 0[/mm], womit die Klammer negativ
> > ist.
> >
> > Du musst dich also beim Ableitung bestimmen verrechnet
> > haben.
> Ja darüber habe ich auch nachgedacht...
> Aber ich bin mir eigtl sicher, dass die Ableitung richtig
> ist
>
> also:
>
> [mm]f(x)=e^{ln(1+\bruch{1}{x})*x}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\left(1+\bruch{1}{x}\right)^x*\left[\bruch{1}{1+\bruch{1}{x}}*-\bruch{1}{x^2}*x+ln\left(1+\bruch{1}{x}\right)*1\right][/mm]
>
> [mm]=\left(1+\bruch{1}{x}\right)^x*\left[ln\left(1+\bruch{1}{x}\right)-\bruch{1}{x+1}\right][/mm]
Im ersten Post hattest du allerdings [mm] $\ln \frac{1}{1 + x}$ [/mm] und nicht [mm] $\ln(1 [/mm] + [mm] \frac{1}{x})$. [/mm] Jetzt stimmt es.
Wenn du $g(x) := [mm] \ln\left(1+\bruch{1}{x}\right)-\bruch{1}{x+1}$ [/mm] setzt und das ableitest, siehst du dass die Ableitung fuer alle $x > 0$ negativ ist. Wenn du nun [mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] g(x)$ anschaust, siehst du dass da 0 rauskommt. Also muss die Funktion auf [mm] $\IR_{>0}$ [/mm] positiv gewesen sein.
Damit ist $f'(x) > 0$ fuer alle $x > 0$ und somit $f(x)$ streng monoton steigend.
Vielleicht ist gemeint, dass man den Mittelwertsatz fuer die Aussage ''Ableitung strikt positiv (negativ) impliziert streng monoton steigend (fallend)'' verwendet?
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:37 Di 05.05.2009 | | Autor: | tedd |
> Hallo!
>
> [mm]f'(x)=\left(1+\bruch{1}{x}\right)^x*\left[\bruch{1}{1+\bruch{1}{x}}*-\bruch{1}{x^2}*x+ln\left(1+\bruch{1}{x}\right)*1\right][/mm]
> >
> >
> [mm]=\left(1+\bruch{1}{x}\right)^x*\left[ln\left(1+\bruch{1}{x}\right)-\bruch{1}{x+1}\right][/mm]
>
> Im ersten Post hattest du allerdings [mm]\ln \frac{1}{1 + x}[/mm]
> und nicht [mm]\ln(1 + \frac{1}{x})[/mm]. Jetzt stimmt es.
>
> Wenn du [mm]g(x) := \ln\left(1+\bruch{1}{x}\right)-\bruch{1}{x+1}[/mm]
> setzt und das ableitest, siehst du dass die Ableitung fuer
> alle [mm]x > 0[/mm] negativ ist. Wenn du nun [mm]\lim_{x\to\infty} g(x)[/mm]
> anschaust, siehst du dass da 0 rauskommt. Also muss die
> Funktion auf [mm]\IR_{>0}[/mm] positiv gewesen sein.
>
> Damit ist [mm]f'(x) > 0[/mm] fuer alle [mm]x > 0[/mm] und somit [mm]f(x)[/mm] streng
> monoton steigend.
>
> Vielleicht ist gemeint, dass man den Mittelwertsatz fuer
> die Aussage ''Ableitung strikt positiv (negativ) impliziert
> streng monoton steigend (fallend)'' verwendet?
>
> LG Felix
>
Hi!
Danke für die Antwort Felix!
Also ich habe nochmal nachgefragt und zwar ist der erste Schritt mit der Ableitung wohl der richtige Weg und ich habe dann
[mm] f'(x)=\left(1+\bruch{1}{x}\right)^x*\left[ln\left(1+\bruch{1}{x}\right)-\bruch{1}{x+1}\right]
[/mm]
Jetzt soll man wohl mit Hilfe des MWS zeigen, dass die Eckige Klammer positiv ist nur verstehe ich noch nicht so recht wie:
folgende Ungleichung soll also erfüllt sein:
[mm] ln\left(1+\bruch{1}{x}\right)>\bruch{1}{x+1}
[/mm]
Sei [mm] g(x)=ln\left(1+\bruch{1}{x}\right)
[/mm]
und [mm] h(x)=\bruch{1}{x+1}
[/mm]
[mm] g'(x)=\bruch{1}{1+\bruch{1}{x}}*-\bruch{1}{x^2}=-\bruch{1}{x^2+x}
[/mm]
g'(x) ist für positive x negativ und ist für [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}=0
[/mm]
Also ist g(x) monoton fallend.
Der Mittelwertsatz lautet ja [mm] g'(c)=\bruch{g(b)-g(a)}{b-a}
[/mm]
meine Intervallgrenzen sind ja [mm] ]a;b[=]0;\infty[
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0^+}\ln(1+\bruch{1}{x})=ln(\infty)=\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\ln(1+\bruch{1}{x})=\ln(1)=0
[/mm]
Dann hätte ich ja
[mm] g'(c)=-\bruch{1}{x^2+x}
[/mm]
[mm] =\bruch{0-\infty}{\infty-0} [/mm] und damit weis ich grad nicht so wirklich viel mit anzufangen...
Für MWS auf h(x) käme sowas raus:
[mm] h'(x)=-\bruch{1}{(x+1)^2}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{x+1}=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0^+}\bruch{1}{x+1}=1
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{(x+1)^2}=\bruch{1}{\infty-0}=0 [/mm] ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Sa 09.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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