Strom (I) bei Entladevorgang < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Di 03.01.2012 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | | Ein Kondensator ist mit der Spannung [mm] U_{0} [/mm] geladen und wird über einen Widerstand (R) entladen. Bestimmen Sie den Strom I in Abhängigkeit von der Zeit t |
Hallo Zusammen, ich habe mir zu der o.g. Aufgabe einige Gedanken gemacht, habe aber noch hier und da ein paar Fragen.
Ich fang mal an und verpacke meine Fragen immer in []:
Gesucht ist der Strom I also:
[mm]I=\bruch{U}{R}[/mm]
Da aber sich U im Zeitintervall [mm]\Delta T[/mm] ändert, da dass elektrische Feld abnimmt, muss ich [mm]\Delta U[/mm] bestimmen. [Korrekt?]
Hierfür habe ich die Formel der Kapazität genutzt:
[mm]C=\bruch{Q}{U}[/mm] => [mm]U=\bruch{Q}{C}[/mm].
Da die Kapazität meines Kondensators fest also Konstant ist, muss sich folglich die Ladung ändern damit mein U kleiner wird:
[mm]\Delta U = \bruch{\Delta Q}{C}[/mm]
Nebenrechnung zur Berechnung von [mm]\Delta Q[/mm] :
Gegeben habe ich : I,t und Gesucht ist: Q
also:
[mm]I=\bruch{Q}{t}[/mm] => [mm]Q=I*t[/mm]
Da ich aber [mm]\Delta Q[/mm] suche und nicht Q, muss sich die Zeit verändern, da ja der Strom in Abhängigkeit von der Zeit bestimmt werden soll. Also I = konstant.
Damit habe ich also:
[mm]\Delta Q = I*\Delta t[/mm] Da ich aber mit meiner Formel I bestimmen möchte, darf I nicht auftreten.
Kurz zur Erläuterung:
Also auf der Rechten Seite von I = [Hier darf kein I stehen], da ich aber ja[mm]\Delta U[/mm] bestimmen will um diese in [mm]I = \bruch{\Delta U}{R}[/mm] einzuseten. Wäre es nicht von Vorteil das zur Berechnung von [mm]\Delta U[/mm] I auftauchen würde, da nach dem Einsetzen ja auf der rechten Seite von I wieder I auftauchen würde
[Korrekt?]
Also ersetze ich I durch [mm]I = \bruch{U}{R}[/mm].
Eingesetzt:
[mm]\Delta Q = \bruch{U*\Delta t}{R}[/mm]
Damit ist die Nebenrechnung beendet und ich kann [mm]\Delta Q[/mm] einsetzen:
[mm]\Delta U = \bruch{\bruch{U*\Delta t}{R}}{C}[/mm] = [mm]\Delta U = \bruch{\bruch{U*\Delta t}{R}}{\bruch{1}{C}}[/mm] = [mm]\bruch{U*\Delta t}{R} * \bruch{1}{C}[/mm]
Also:
[mm]\Delta U = \bruch{U*\Delta t}{R*C}[/mm]
So und nun liege ich vor einem Problem:
Laut meiner Lösung müsste ich aber [mm]\Delta U = -\bruch{U*\Delta t}{R*C}[/mm] raus bekommen. Doch ich weis nicht woher das (-) kommt.
1.) Wäre nett wenn mir das einer Erklären könnte.
Das ist meine erste wichtige Frage gewesen. Wenn ich nun angenommen das Richtige Ergebnis herausbekomme, geht es ja so weiter:
[mm]\Delta U = -\bruch{\Delta t}{R*C}*U[/mm] | : U
[mm]\bruch{\Delta U}{U}= -\bruch{\Delta t}{R*C}[/mm]
So nun müsste ich ja das Integral bilden und hier habe ich meine zweite wichtige Frage:
2.) Wie bilde ich nun dieses Integral? Ich habe leider keine Ahnung wie ich das anstellen könnte, da ich nicht weiß wie sich [mm]\Delta U[/mm] und [mm]\Delta t[/mm] beim Integrieren verhalten.
Könnte mir das bitte jemand ausführlich erklären?
Ich wollte erst über [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = ln gehn, aber ich habe ja kein [mm] \bruch{1}{x}...
[/mm]
Und wieso ziehe ich erst das U nach links? Wieso integriere ich nicht davor?
Danke für eure Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Di 03.01.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Ein Kondensator ist mit der Spannung [mm]U_{0}[/mm] geladen und wird
> über einen Widerstand (R) entladen. Bestimmen Sie den
> Strom I in Abhängigkeit von der Zeit t
> Hallo Zusammen, ich habe mir zu der o.g. Aufgabe einige
> Gedanken gemacht, habe aber noch hier und da ein paar
> Fragen.
>
> Ich fang mal an und verpacke meine Fragen immer in []:
>
> Gesucht ist der Strom I also:
>
> [mm]I=\bruch{U}{R}[/mm]
>
> Da aber sich U im Zeitintervall [mm]\Delta T[/mm] ändert, da dass
> elektrische Feld abnimmt, muss ich [mm]\Delta U[/mm] bestimmen.
> [Korrekt?]
na ja, ich würde sagen, Du musst $U(t)$ bestimmen.
>
> Hierfür habe ich die Formel der Kapazität genutzt:
> [mm]C=\bruch{Q}{U}[/mm] => [mm]U=\bruch{Q}{C}[/mm].
> Da die Kapazität meines Kondensators fest also Konstant
> ist, muss sich folglich die Ladung ändern damit mein U
> kleiner wird:
>
> [mm]\Delta U = \bruch{\Delta Q}{C}[/mm]
[mm] $U(t)=\frac{Q(t)}{C}$
[/mm]
>
> Nebenrechnung:
> Gegeben habe ich : I,t und Gesucht ist: Q
> also:
> [mm]I=\bruch{Q}{t}[/mm] => [mm]Q=I*t[/mm]
Der Strom ist so definiert: $I = [mm] {\mathrm{d}Q \over \mathrm{d}t}=\dot{Q}$
[/mm]
>
> Da ich aber [mm]\Delta Q[/mm] suche und nicht Q, muss sich die
Laut Aufgabenstellung ist $I(t)$ gesucht.
Zeit
> verändern, da ja der Strom in Abhängigkeit von der Zeit
> bestimmt werden soll. Also I = konstant.
Da widersprichst Du Dir selbst. Der Strom soll in Abhängigkeit der Zeit bestimmt werden, er ist also i.A. nicht konstant.
>
> Damit habe ich also:
> [mm]\Delta Q = I*\Delta t[/mm] Da ich aber mit meiner Formel I
> bestimmen möchte, darf I nicht auftreten. [Korrekt?]
Um I zu bestimmen ist eine Gleichung in der I nicht auftaucht wenig hilfreich.
>
> Also ersetze ich I durch [mm]I = \bruch{U}{R}[/mm].
> Eingesetzt:
> [mm]\Delta Q = \bruch{U*\Delta t}{R}[/mm]
>
> Damit ist die Nebenrechnung beendet und ich kann [mm]\Delta Q[/mm]
> einsetzen:
>
>
> [mm]\Delta U = \bruch{\bruch{U*\Delta t}{R}}{C}[/mm] = [mm]\Delta U = \bruch{\bruch{U*\Delta t}{R}}{\bruch{1}{C}}[/mm]
> = [mm]\bruch{U*\Delta t}{R} * \bruch{1}{C}[/mm]
>
> Also:
> [mm]\Delta U = \bruch{U*\Delta t}{R*C}[/mm]
>
> So und nun liege ich vor einem Problem:
> Laut meiner Lösung müsste ich aber [mm]\Delta U = -\bruch{U*\Delta t}{R*C}[/mm]
> raus bekommen. Doch ich weis nicht woher das (-) kommt.
Da uns die Spannung eigentlich gar nicht interessiert, geben ich Dir mal einen Tipp wie Du relativ einfach auf die Lösung kommst.
Male Dir ein Schaltbild der Anordnung und stelle eine Gleichung nach der Maschenregel auf. Dann sollte sich auch die Frage nach dem Vorzeichen klären.
Du erhältst eine Gleichung der Funktionen $I(t)$ und $Q(t)$. Das $Q(t)$ kannst Du ersetzen (siehe oben) und Du hast dann eine DGL für [mm] $\dot{I}(t)$. [/mm] Deren Lösung ist die gewünschte Funktion.
>
> 1.) Wäre nett wenn mir das einer Erklären könnte.
>
> Das ist meine erste wichtige Frage gewesen. Wenn ich nun
> angenommen das Richtige Ergebnis herausbekomme, geht es ja
> so weiter:
>
> [mm]\Delta U = -\bruch{\Delta t}{R*C}*U[/mm] | : U
>
> [mm]\bruch{\Delta U}{U}= -\bruch{\Delta t}{R*C}[/mm]
Das ist im Prinzip die richtige Gleichung, nur ist die Schreibweise etwas unüblich und der Weg auf die Gleichung zu kommen ist nicht korrekt.
>
> So nun müsste ich ja das Integral bilden und hier habe ich
> meine zweite wichtige Frage:
>
> 2.) Wie bilde ich nun dieses Integral? Ich habe leider
> keine Ahnung wie ich das anstellen könnte, da ich nicht
> weiß wie sich [mm]\Delta U[/mm] und [mm]\Delta t[/mm] beim Integrieren
> verhalten.
In der richtigen Notation [mm] ($\mathrm{d}Q$ [/mm] statt [mm] $\Delta [/mm] Q$ und [mm] $\mathrm{d}t$ [/mm] statt [mm] $\Delta [/mm] t$) siehst Du es vielleicht eher.
>
> Könnte mir das bitte jemand ausführlich erklären?
>
> Ich wollte erst über [mm]\bruch{1}{x}[/mm] = ln gehn, aber ich habe
> ja kein [mm]\bruch{1}{x}...[/mm]
>
> Und wieso ziehe ich erst das U nach links? Wieso integriere
> ich nicht davor?
Weil es vorher nicht funktioniert. Das Verfahren nennt sich Trennung der Variablen bzw. Trennung der Veränderlichen (TdV) und ist ein Standardverfahren zum Lösen von Differentialgleichungen (DGL)
>
> Danke für eure Hilfe.
>
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Di 03.01.2012 | | Autor: | Vertax |
Hi, danke für deine Hilfe.
Leider kann ich nur mit dem Arbeiten was ich habe.
Maschenregel hatten wir in der Vorlesung noch nicht behandelt, ergo kann Sie nicht Teil der Lösung sein.
Das die Formel vielleicht etwas unüblich aussieht mag auch sein. Trotzdem ist Sie aber in dieser Form als Musterlösung angegeben, also muss ich auch auf diese direkt kommen können.
Um Verwirrung zu Vermeiden, es handelt sich nicht um die endgültige Lösung, nur müsste ich bis zu diesem Schritt kommen, bzw diese Form noch Integrieren. Danach komme ich wieder selbst zurecht um die Formel nach U umzustellen.
> Weil es vorher nicht funktioniert. Das Verfahren nennt sich
> Trennung der Variablen bzw. Trennung der Veränderlichen
> (TdV) und ist ein Standardverfahren zum Lösen von
> Differentialgleichungen (DGL)
>
> Gruß,
>
> notinX
Mhh das ist auch eher Suboptimal, wäre wirklich über eine ausfürhliche Erklärung dankbar. Mag ja sein das es sich um ein Standartverfahren zum Lösen von DGLs handelt, ich hatte es bisher leider trotzdem nicht.
>
>> Da ich aber [mm]\Delta Q[/mm] suche und nicht Q, muss sich die
>Laut Aufgabenstellung ist I(t) gesucht.
Aber nicht in meiner Nebenrechnung zur bestimmung von [mm] \Delta [/mm] Q.
>> Um I zu bestimmen ist eine Gleichung in der I nicht auftaucht wenig hilfreich.
Ich meinte auch Rechts von I=......
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Hallo!
> Hi, danke für deine Hilfe.
> Leider kann ich nur mit dem Arbeiten was ich habe.
> Maschenregel hatten wir in der Vorlesung noch nicht
> behandelt, ergo kann Sie nicht Teil der Lösung sein.
Naja, das ist aber eine extrem grundlegende Sache, die man schon bei Widerständen lernen sollte. Im Prinzip sagt die Regel: Laufe exakt einmal deinen Schaltkreis entlang. Addiere dabei die Spannungen über alle Bauteile, denen du begegnest. An jedem Bauteil solltest du einen Pfeil einzeichnen, der bei der Spannungsmessung angibt, von welchem Anschluß zu welchem man die Spannung misst. Solle so ein Pfeil entgegen deiner Laufrichtung zeigen, betrachte die Spannung als negativ.
Die Summe aller Spannungen ist dann 0V.
Vereinfacht heißt das für dich: Die Spannung am Kondensator ist gleich der Spannung am Widerstand.
>
> Das die Formel vielleicht etwas unüblich aussieht mag auch
> sein. Trotzdem ist Sie aber in dieser Form als
> Musterlösung angegeben, also muss ich auch auf diese
> direkt kommen können.
>
> Um Verwirrung zu Vermeiden, es handelt sich nicht um die
> endgültige Lösung, nur müsste ich bis zu diesem Schritt
> kommen, bzw diese Form noch Integrieren. Danach komme ich
> wieder selbst zurecht um die Formel nach U umzustellen.
>
> > Weil es vorher nicht funktioniert. Das Verfahren nennt sich
> > Trennung der Variablen bzw. Trennung der Veränderlichen
> > (TdV) und ist ein Standardverfahren zum Lösen von
> > Differentialgleichungen (DGL)
> >
> > Gruß,
> >
> > notinX
>
> Mhh das ist auch eher Suboptimal, wäre wirklich über eine
> ausfürhliche Erklärung dankbar. Mag ja sein das es sich
> um ein Standartverfahren zum Lösen von DGLs handelt, ich
> hatte es bisher leider trotzdem nicht.
Im Prinzip versuchst du, eine Formel wie diese hinzuschreiben:
$f(U(t))=g(t)_$
das heißt, links steht ein Term, der nur U(t), aber nicht t enthält, und rechts entsprechend ein term, der zwar t, aber nicht U(t) enthält.
Integration:
[mm] $\int_{U(t_0)^U(T)}f(U(t))\,dU(t)=\int_{t_0}^Tg(t)\,dt$
[/mm]
Das kannst du gerne betrachten als:
[mm] $\int_{U(t_0)^U(T)}f(z)\,dz=\int_{t_0}^Tg(t)\,dt$
[/mm]
Tausche in deiner Gleichung die [mm] \delta [/mm] gegen $d_$ :
$ [mm] \bruch{\Delta U}{U}= -\bruch{\Delta t}{R\cdot{}C} [/mm] $
und integriere die linke Seite nach U, und die rechte nach t.
Danach kannst du das ganze nach U(T) umstellen.
Und dann gilt ja noch U=RI am Widerstand...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Di 03.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu dem Vorzeichen: wenn du einen Kreis hast mit R und C an denen eine spannung anliegt, ist zwar vom betrage her richtig [mm] U_R=U_C [/mm] das gilt aber nicht für das Vorzeichen!
an einem Punkt herrst keine Spannung, d.h. wenn du die 2 Spannungen in Reihe addierst muss 0 rauskommen! also hast du
[mm] U_R+U_C=0
[/mm]
dann [mm] U_R=R*I [/mm] und [mm] U_C=Q/C
[/mm]
hast du R*I+Q/C=0
wenn du die Gl. differenzierst hast du R*I'+Q'/C
' = Ableitung nach t (Zeit)
dann [mm] Q'=\bruch{dQ}{dt}=I
[/mm]
und du hast die gesuchte Gleichung für I:
[mm] I'(t)=-\bruch{1}{RC}*I(t)
[/mm]
wenn du für I= [mm] U_R/R [/mm] einsetzt hast du die Dgl für U(t)
das nennt man eine Differentialgleichung, die man lösen kann.
eine Methode ist die "Trennung der Variablen"
eine andere ist sie sich anzusehen. sie hat den Typ f'(t)=-k*f(t) und wenn du weisst, dass die fkt, deren Ableitung wieder die fkt bis auf eine Konstante ist eine Exponentialfkt [mm] f(t)=A*e^{-k*t} [/mm] ist bist du fertig, und kannst es durch differenzieren beweisen.
also hast du [mm] I(t)=A*e^{-\bruch{t}{RC}}
[/mm]
für t=0 eingestzt ergibt den Wert von A.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Di 03.01.2012 | | Autor: | Vertax |
> und du hast die gesuchte Gleichung für I:
> [mm]I'(t)=-\bruch{1}{RC}*I(t)[/mm]
> wenn du für I= [mm]U_R/R[/mm] einsetzt hast du die Dgl für U(t)
> das nennt man eine Differentialgleichung, die man lösen
> kann.
> eine Methode ist die "Trennung der Variablen"
> eine andere ist sie sich anzusehen. sie hat den Typ
> f'(t)=-k*f(t) und wenn du weisst, dass die fkt, deren
> Ableitung wieder die fkt bis auf eine Konstante ist eine
> Exponentialfkt [mm]f(t)=A*e^{-k*t}[/mm] ist bist du fertig, und
> kannst es durch differenzieren beweisen.
> also hast du [mm]I(t)=A*e^{-\bruch{t}{RC}}[/mm]
> für t=0 eingestzt ergibt den Wert von A.
> Gruss leduart
Mhh also das hat mir jetzt ein bisschen Geholfen, aber auch nicht wirklich viel. Wie gesagt, wir haben in der Vorlesung noch kein Maschensatz behandelt von daher muss es eine Lösung auch ohne geben.
Wir würden ja sonst keine Aufgabe bekommen wenn uns dazu noch Stoff fehlen würde.
Ich glaube wir versuchen Unterschiedliche Dinge zu lösen, denn meine Lösungen die wir bekommen haben sehen so aus:
Also als Ergebnisse haben wir bekommen:
Zwischenschritt 3:
[mm]U=U_{0}*e^{\bruch{-t}{R*C}}[/mm]
Endergebnis:
[mm]I=\bruch{U_{0}*e^{\bruch{-t}{R*C}}}{R}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:56 Mi 04.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass U im geschlossenen Kreis insgesamt 0 ist kann man zwar Maschensatz nennen, aber auch einfach so feststellen. Es liegt an der def von U überleg das mal, du kannst keine Arbeit verrichten um eine Ladung von A nach A zu transportieren.
und ob du die Gl für U oder I löst ist dasselbe. wegen U=R*I
Gruss leduart
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Vielleicht ist das Ganze so verständlicher:
Gesucht ist I. Da sich der Kondensator über R entlädt, ist jederzeit [mm] I=\bruch{U}{R}, [/mm] und am Kondensator herrscht jederzeit die Spannung [mm] U=\bruch{Q}{C}. [/mm] Also gilt [mm] I=\bruch{Q}{CR}.
[/mm]
I gibt nun an, wieviel Ladung pro Zeit aus dem Kondensator AB-fließt. Damit ist [mm] I=-\bruch{dQ}{dt} [/mm] oder dQ=-I*dt: Betrachten wir den Strom also als positiv, so entleert sich der Kondensator, wie es tatsächlich der Fall ist.
Damit ergibt sich nun [mm] \bruch{dQ}{dt}=-\bruch{Q}{CR}. [/mm] Stünde hier kein Minuszeichen, würde sich Ladung durch den Stromfluss immer mehr anwachsen. Der Einfachheit halber bestimmen wir nun die Zeitabhängigkeit von Q, erst im letzten Schritt gehen wir wieder auf I über.
Wenn man den Typ der obigen Differenzialgleichung (y'=a*y) erkennt und die dazugehörige Lösung kennt, kann man wie von Leduard beschrieben vorgehen und ist sofort fertig. Wenn nicht, bildet man [mm] dQ=-\bruch{Q}{CR}*dt.
[/mm]
Natürlich könntest du rein theoretisch die linke und die rechte Seite integrieren; links ergäbe sich Q, aber rechts müsstest du Q nach t integrieren, und dazu müsstest du schon wissen, wie sich Q in Abhängigkeit von der Zeit verhält - und genau das weißt du ja nicht, sondern suchst es. Deshalb bringst du alles mit Q auf die eine und alles ohne Q auf die andere Seite:
[mm] \bruch{dQ}{Q}=-\bruch{1}{CR}*dt
[/mm]
Links steht so etwas wie [mm] \bruch{dx}{x}, [/mm] das Integral gibt dann ln x, hier also ln Q, wobei es nicht wichtig ist, zu wissen, wie sich Q mit der Zeit verhält. Rechts erhältst du [mm] -\bruch{t}{CR}. [/mm] Bei Integrieren kann noch auf beiden Seiten eine Integrationskonstante auftreten. Diese kannst du dann miteinander verrechnen, brauchst sie also nur auf einer Seite zu addieren:
ln Q = [mm] -\bruch{t}{CR} [/mm] +k
Q = [mm] e^{-\bruch{t}{CR}+k}=e^{-\bruch{t}{CR}}*e^{k}= Q_0*e^{-\bruch{t}{CR}}
[/mm]
Wegen [mm] I=\bruch{Q}{CR} [/mm] ist damit I = [mm] \bruch{Q_0}{CR}*e^{-\bruch{t}{CR}}=I_0*e^{-\bruch{t}{CR}}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Vertax |
Jetzt hats klick gemacht, danke HJKweseleit.
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