SturmLioville Eigenwertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Fr 31.03.2006 | | Autor: | AndreasL |
Hallo,
Erstmal:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Nun zu meiner Frage:
Es geht um das Sturm - Liouville Eigenwertproblem von einer Differentialgleichung zweiter Ordnung.
Es ist folgende DG. gegeben;
[mm] z'' - z' + \alpha^2*e^{2*x}*z=0 [/mm]
mit den Randbedingungen : [mm] z ( ln( \pi) ) = z ( ln(2* \pi) ) = 0 [/mm]
Diese DG. konnte ich nun auf die Selbstadjungierte Form bringen:
[mm] (z'*e^{-x})'+\alpha^2*e^{x}*z = 0 [/mm]
Es sollten also unendliche viele [mm] \alpha [/mm] geben so dass, z nicht triveal ist.
Das Problem ist nun, dass diese DG. keine Konstanten Koeffizienten hat und somit kann ich die Lösung der DG. nicht direkt bestimmen, sowie dies bsp. bei der DG.
[mm] z'' + \alpha*z = 0 [/mm]
der Fall ist.
Meine Idee war bis jetzt, der Potenzreihenansatz.
also ich setzte
[mm] z = \sum_{k=1}^{N} a_{k}*(x-ln( \pi))^k [/mm]
Daraus folgt nun mit einer Randbedingung, dass [mm] a_{0} [/mm] = 0 .
Aber die anderen [mm] a_{n} [/mm] oder die [mm] \alpha [/mm] kann ich mit diesem Ansatz nicht bestimmen.
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben wie man dieses Problem löst bzw. ob hier der Potenzreihenansatz zum Erfolg führt.
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
mfg
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Fr 31.03.2006 | | Autor: | topotyp |
Wenn ich mir die Randbedingungen so anschaue, kommt mir
der Gedanke mal die Substitution $x=ln(t)$ zu probieren. Vielleicht hilfts ja??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Mo 03.04.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo Andreas,
wie lautet denn überhaupt die aufgabenstellung? Wird eine Lösung in geschlossener Form verlangt? Oder eventuell nur eine Existenzaussage?
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Mo 03.04.2006 | | Autor: | AndreasL |
Hallo,
die genaue Aufgábenstellung lautet:
Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenfunktionen des Randwetrproblems .
Geben Sie die Orthogoanlitätsrelationen für die Eigenfuntkionen an und enwickeln Sie die Funtkionen f(x)=1 , [mm] f(x)=sin(e^x), f(x)=cos^2(e^x) [/mm] nach den Eigenfunktionen.
Hinweis bringen Sie die Differentialgleichung durch Multiplikation mit [mm] e^{-x} [/mm] auf Sturm-Liouvillesche Form.
Das Problem ich scheitere schon beim bestimmen der Eigenwerte.
Es liegt auch nicht nur an dieser speziellen DG.
Ich hab auch noch andere ähnliche Aufgaben zum bestimmen der Eigenewerte von DG 2er Ordnung mit nicht linearen koeffizienten.
z.B.
Lösen sie das Randwertproblem:
[mm] 4*t*z''+2*z' + \lambda^2*z=0 [/mm]
z'(0)=z'(1)=0
Leider habe ich auch bei diesen anderen Aufgaben, keine Ahnung wie ich vorgehen soll.
Ich hoffe, dass mir hier vielleicht jemand einen Tipp geben könnte
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Hallo Andreas,
ich habe mir die Aufgabe nochmal angeschaut. Dabei habe ich den Vorschlag von topotyp aufgegriffen und die Dgl. mithilfe der Substitution $x=ln(t)$ transformiert. Wenn Du das machst, kannst du die transformierte dgl. sehr leicht lösen.
Versuche es mal, wenn Du Hilfe brauchst, melde dich wieder.
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Di 04.04.2006 | | Autor: | AndreasL |
Hallo,
Herzlichen Dank für den den Hinweis.
Die Substitution funtkioniert tatsächlich und führt auf die einfache DG:
[mm] z" + \lambda^2*z = 0[/mm]
Nun ist das Problem leicht zu lösen.
Auch meine anderen Aufgaben lassen sich mit ähnlichen Substitutionen Lösen.
Danke nochmals.
Mfg
Andreas
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