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| Aufgabe | | Brechnen Sie F' und F'' von F : [-1,1] -> [mm] \IR, [/mm] x -> [mm] \integral_{0}^{x}{\wurzel{1-t^8} dt} [/mm] . Bestätigen Sie mit einfacher Ober- und Untersummen, dass 0,496 < F(0,5) < 0,5 und 0,733 < F(1) < 1. |
Hallo, ich komme einfach nicht weiter bei dieser Aufgabe. Ich habe die zwei Ableitungen schon gebildet das war nicht das Problem. Nur beim integrieren... . Ich habe mir gedacht das ich [mm] t^8 [/mm] mit [mm] Sin^2 [/mm] (x) Substituiere. Damit ich dann [mm] 1-Sin^2 [/mm] (x) mit Cos (x) ersetzen kann. Leider kann ich das aber nicht umsetzen! Habe mir schon Beispielaufgaben angesehen aber ich komme nicht drauf.
Ich muss irgendwas an den Grenzen verändern und noch etwas mit dem dt machen.
Habe mir gedacht dx/dt = [mm] 8*t^7 [/mm] und dann umstellen nach dt= [mm] dx7/8*t^7
[/mm]
Aber ich glaube nicht das das richtig ist.
Ist das überhaupt der richtige Weg, gibt es eine andere Möglichkeit?
Oder was mache ich falsch?
Gruß
Kris
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Hallo!
> Brechnen Sie F' und F'' von F : [-1,1] -> [mm]\IR,[/mm] x ->
> [mm]\integral_{0}^{x}{\wurzel{1-t^8} dt}[/mm] . Bestätigen Sie mit
> einfacher Ober- und Untersummen, dass 0,496 < F(0,5) < 0,5
> und 0,733 < F(1) < 1.
> Ich habe mir gedacht
> das ich [mm]t^8[/mm] mit [mm]Sin^2[/mm] (x) Substituiere. Damit ich dann
> [mm]1-Sin^2[/mm] (x) mit Cos (x) ersetzen kann. Leider kann ich das
> aber nicht umsetzen! Habe mir schon Beispielaufgaben
> angesehen aber ich komme nicht drauf.
Das Integral ist womöglich nicht einfach zu berechnen.
Das sollst du aber auch gar nicht!
Da steht, du sollst den Integralwert durch Ober- und Untersummen abschätzen!
Also besinne dich nochmal auf die Definition des Riemann-Integrals mit den Flächenstreifen.
Als Unterteilungen reicht es wahrscheinlich, wenn du die äquidistanten Unterteilungen nimmst, also für eine Unterteilung des Intervalls [0,1] in N Teilintervalle ist die Zerlegung: [mm] [x_k,x_k+1] [/mm] (k = 0,...,N-1) mit
[mm] $x_k [/mm] = k/N$ für $k = 0,...,N$.
Grüße,
Stefan
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Hey Stefan, danke für die schnelle Antwort.
Das Riemann-Integral verstehe ich. Mit Obersumme und Untersumme. Möglichst viele Rechtecke die einmal den Graphen komplett umschließen und einmal knapp unter dem Graphen sind. Wenn man die Anzahl der Rechtecke erhöht dann bekommt man den Flächinhalt herraus.
Aber wie kann ich das auf meine Aufgabe übertragen?
Die Zerlegung die du mir aufgeschrieben hast verstehe ich nicht.
Gruß
Kris
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Hallo,
> Hey Stefan, danke für die schnelle Antwort.
> Das Riemann-Integral verstehe ich. Mit Obersumme und
> Untersumme. Möglichst viele Rechtecke die einmal den
> Graphen komplett umschließen und einmal knapp unter dem
> Graphen sind. Wenn man die Anzahl der Rechtecke erhöht
> dann bekommt man den Flächinhalt herraus.
> Aber wie kann ich das auf meine Aufgabe übertragen?
> Die Zerlegung die du mir aufgeschrieben hast verstehe ich
> nicht.
Ok, nehmen wir uns mal das Intervall [0,1] vor,
$f(x) = [mm] \sqrt{1-x^{8}}$ [/mm] ist der Integrand. Es ist $F(1) = [mm] \int_{0}^{1}f(x) [/mm] dx$, wenn wir F(1) abschätzen wollen, müssen wir also das Integral [mm] $\int_{0}^{1}f(x) [/mm] dx$ abschätzen.
Dies machen wir durch Ober- und Untersumme, die genauso gebildet werden wie du beschrieben hast. Das, was ich als Zerlegung angegeben habe, sollte einfach heißen: Wir zerlegen das Intervall [0,1] in N gleichgroße, nebeneinander liegende Teilintervalle.
Du kannst ja beispielsweise mal [0,1] in die 4 Teilintervalle [0,1/4], [1/4,1/2],[1/2,3/4],[3/4,1] zerlegen. Kannst du nun Ober- und Untersumme berechnen?
Eventuell gehts leichter mit folgendem Bild: f(x) ist die schwarze Linie, das blaue ist die Untersumme, das rote die Obersumme.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hey, ich habe das jetzt mit dem Bild gelöst:
Obersumme:
1*0,2 + 1*0,2 + 1*0,2 + 0,99*0,2 + 0,9*0,2 = 0,968
Untersumme:
0,2*(1+1+0,9+0,85)=0,75
Sind die Summen so richtig? Die Werte habe ich jetzt abgeschätzt aus dem Bild was du mitgeschickt hast. Bin mir aber nicht sicher ob man das so machen darf. Damit kann ich ja aussagen das der Flächeninhalt immer zwischen 0,75 und 0,968 liegt. Das ist ja aber nur eine Grobe Abschätzung! Reicht sowas den?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 So 04.07.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Idee ist jetzt korrekt.
Du kannst die y-Werte aber auch errechnen, statt abzulesen, das solltest du sogar tun, um das Prinzip absolut sicher zu beherrschen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 So 04.07.2010 | | Autor: | KrisAbi09 |
achso okay cool, danke!
Habe es wohl verstanden.
Ich werde einfach 5 Werte ausrechnen die Rechtecke als Fläche berechnen dann Ober und untersumme Bilden.
Danke für die Hilfe!
Gruß
Kris
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